SHARKOVSKYの定理に浪漫を感じる
定理の内容を述べるに留める。なお定理の証明に関しては、
http://www.tufts.edu/as/math/Preprints/BurnsHasselblattShort.pdf
を参照のこと。
まず準備として、「SHARKOVSKY列」を定義する。
正の整数に対して順序\( \; \prec \; \)を次のように定義する:
\(3\prec 5\prec7\prec\cdot\cdot\cdot\)
\(\prec2\times 3\prec 2\times 5\prec 2\times 7\prec \cdot\cdot\cdot\)
\(\prec 2^{2}\times 3\prec 2^{2}\times 5\prec 2^{2}\times 7\prec\cdot\cdot\cdot\)
\(\prec 2^{3}\times 3\prec 2^{3}\times 5\prec 2^{3}\times 7\prec\cdot\cdot\cdot\)
\(\cdot\cdot\cdot \prec 2^{5}\prec 2^{4}\prec 2^{3}\prec 2^{2}\prec 2\prec1\).
すなわち順に奇数、奇数に\( \; 2 \;\)を掛けたもの、奇数に\( \; 2^{2} \; \)を掛けたもの、奇数に\( \; 2^{3} \; \)を掛けたもの、ついには\( \; 2 \; \)のべき乗を高次の順に書き出していき、後のほうにいくに従って大になる順序数（順序が定義された数）がSHARKOVSKY列である。
SHARKOVSKYの定理
「\( \mathbb{R} \;\)で定義された連続な写像\( \; M(x) \; \)が\( \; p \; \)周期軌道をもつとすると、\( \; M(x) \; \)はSHARKOVSKY列で\( \; p \; \)より大なるすべての数\( \; l, \; p \prec l \; \)に対応する\( \; l \; \)周期軌道をもつ」
この定理のすごさがわかるだろうか。もし\( \; M \; \)が周期\( \; 3 \; \)の軌道をもつとすると、\( \; M \; \)は任意の正の整数\( \; l \; \)に対して\( \; l \; \)周期軌道をもつことになるのである。よって周期\( \; 3 \; \)の窓にはすべての周期軌道が存在することになる。
この定理を知ったときは驚いたが、ウィキペディアにも日本語のページがないのをみると、日本ではあまり知られていないようである。
