\( \Omega \; \)を\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)の可測集合とし、\( \; \mu (\Omega) >0 \; \)であるとする。 また\( \; \Omega \; \)上の可測関数\( \; u \; \)で\[ \|u\|=\|u\|_{L^{p}}=\left ( \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx \right )^{1/p}<\infty \] を…

関数\( \; f(x)=\ln{x} \;\)の凸性を利用した不等式を示す。 この関数は上に凸であるから、任意に\( \; x_{2} \geq x_{1}>0 \; \)をとってきたとき、この二点を結ぶ直線はこの二点の間で常に\( \; f(x) \; \)よりも下側にあることになる。まずこの事実を立式…

フランスでの主食はパンである。パンを食す文化にはそれなりの歴史がある。 今日のお昼の話。特に意識もせず、パンを裏返しに置いておいたら（食事の際にはいわゆるフランスパン（バゲットと呼ばれる）を一切れ傍に置いておく）、フランスの方に「それはいけ…

「想像力は十年しか続かない」、この台詞をきいたとき、ああこれは宮崎監督自身のことなのだな、と感じた。これが彼の最後の映画だというメッセージなのだろう。 一人の人間の人生を描くことは最も難しいテーマ。それに挑戦したのがこの「風立ちぬ」であった…

細部にとらわれすぎて全体が見えていないことを言う。言い換えれば、全体を捉える事を怠るなということだ。ただし学習の過程ではどちらも必要だということは確かだろう。つまり \(1)\) 木を見ずして森を見るなということ \(2)\) 森を見ずして木を見るなとい…

理解からもっとも遠いようなこの行為のどこが優れているのだろうか。 まず始めに学びたいものがあるとする。それは数学の一分野でもいいし、ある作家の文学でもいい。 そうしたら学びたいものがしっかり学べる座右の書を選ぶ。 いい本は汲めども汲めども汲み…

今日は洋ナシ酒の初体験。 果物やワインから作った酒を蒸留して、アルコールの度数を高めたものをeau de vie(命の水)とよぶ。 由来は中世にまで遡る。当時の錬金術師は不老不死の力が得られるエリクサーを求めてこのeau de vieの精製に成功？したのだ。その…

定理の内容を述べるに留める。なお定理の証明に関しては、 http://www.tufts.edu/as/math/Preprints/BurnsHasselblattShort.pdf を参照のこと。 まず準備として、「SHARKOVSKY列」を定義する。 正の整数に対して順序\( \; \prec \; \)を次のように定義する: …

ノルム空間\( \; X \; \)の任意の有界閉集合がコンパクトであるとき、\( \; X \; \)を局所コンパクトであるという。

Cauchy列\( \; \{u_{n} \} \; \)があるとする:\[ \forall \varepsilon>0, \;\;\; \exists N, \;\;\; n,m \geq N \Longrightarrow |u_{m}-u_{n}|<\epsilon. \] まず\( \; \{ u_{n} \} \; \)が有界であることを示す。\(n_{0} \; \)を固定する。\[ \begin{eqnar…

Quelles impressions vous donne le mot Définition ? Au lycée, en général, on apprend des formules utiles à partir d’un ensemble de définitions données pour résoudre des problèmes concrets. A ce niveau-là, la capacité mathématique requise es…

「定義」ときいて何を思い浮かべるだろうか。 高校数学ではある定義群から出発して役立つ公式を学んでいって、具体的な問題に対処できるようにするのが一般的。ここでの数学の能力とは問題に適用できる公式を素早く見抜くことであって、ある時間制限のもと評…

「有界な数列は収束する部分列をもつ」ことを証明する。 有界なのだから\( \; \{ \alpha_{n} \} \subset I = [a, \; b] \; \)なる\( \; a, \; b \; \)が存在する。 いま\( \; I \; \)を二つに分割すると、少なくともどちらか一方の区間には無限個の点が含ま…

パイプの中に温水が流れていて、冬でも部屋を暖かく保つ。 なにがいいって、洗濯物もこのラジエーターの近くに置いておけば一瞬で乾くんだよね。

\(\alpha\neq 0 \; \)かつ\( \; u \neq 0 \; \)で、\( \; \alpha u=0 \; \)であると仮定して矛盾を導く。この方針は、証明したい命題の対偶命題\[ \alpha\neq 0 \;and \; u \neq 0 \Longrightarrow \alpha u \neq0 \] からでる。線形空間\( \; X \; \)に属す…

フランスのボードゲーム。 二つのサイコロを振って出た目の合計分駒を進める。各升目には、ひとつの国（または地域）の名前と、その場所で産出する主要な資源名（鉱物や繊維、産業など）が書かれている。 各国（地域）に対して複数の「カード」が用意されて…

チャップリンはユーモアの力を借りて巧みにメッセージを託す。『独裁者』にみる地球と人間との関係のあるべき姿。

昨日からフランス入り。空港から出た直後に大嵐で、フロントガラスの向こうが大粒の雨で見えないほどに。転じて嵐が去った後は久しぶりにフランスのきれいな夕暮れをみることができました。大好物のチーズpavinも堪能できて大満足。 これから二か月ほどの滞…