着想メトロ

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最小作用の原理(6)――相対論的運動方程式への拡張

 

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概要

  • 前回までに、最小作用の原理が多次元の場合でも用意に拡張されることを示した。また保存系にしか適用できないことの原理も、ミクロな物理には保存力しかないことを考えれば、高い応用性が期待できるものであることも学んだ。
  • 今回は相対論的補正(つまり光速に近い速度で運動する粒子の運動を記述する際にニュートン方程式へと加わる補正)を加えた運動方程式(ただし力として電磁気力を考える)をも、最小作用の原理が応用でき、さらに作用という量が存在することを示す。
  • 最後にラグランジアンという量を導入し、作用積分を一般的な形式で述べておく。

 ☞相対論的運動方程式

 まずは準備として、ベクトル三重積の公式を導いておく。いま三つの成分もつ三次元ベクトル\[ {\bf A}=(A_{x}, \; A_{y}, \; A_{z}), \; {\bf B}=(B_{x}, \; B_{y}, \; B_{z}), \; {\bf C}=(C_{x}, \; C_{y}, \; C_{z}) \]があるとする。ベクトル三重積とは、この三つのベクトルの外積である:\[ {\bf A}\times {\bf B} \times {\bf C}. \]ベクトル三重積はまた別の三次元ベクトル\( \; {\bf D} \; \)である。ベクトルの第一成分を\( \; \{ {\bf A} \}_{x} \; \)のように表す。たとえば\[ \{ {\bf A} \}_{x}=A_{x}. \]これらの記法を用いてベクトル三重積\( \; {\bf D} \; \)の第一成分を求めてみよう(これは後に相対論的運動方程式を導く際に利用する)。\[ \begin{eqnarray*} \{ {\bf D} \}_{x} &=& A_{y}\{ {\bf B} \times {\bf C} \}_{z}-A_{z}\{{\bf B} \times {\bf C} \}_{y} \\ &=& A_{y}(B_{x} C_{y}-B_{y} C_{x})-A_{z}(B_{z}C_{x}-B_{x} C_{z}). \end{eqnarray*} \]この公式の形(特にインデックス\( \; x, \; y, \; z \; \)の順番)を覚えておこう。

 さて、いよいよ相対論的運動方程式を、最小作用の原理から求める。三次元に分布した電磁場中を運動する一粒子を考える。相対論における作用の公式は\[ S=-m_{0}c^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1-{\bf v}^{2}/c^{2}}dt-q\int_{t_{1}}^{t_{2}}[\phi (x, \; y, \; z, \; t)-{\bf v}\cdot {\bf A}(x, \; y, \; z, \; t)]dt \]である。作用積分の第一項は静止質量\( \; m_{0} \; \)と光速の二乗\( \; c^{2} \; \)の積に、速度の関数\( \; \sqrt{1-{\bf v}^{2}/c^{2}} \; \)を乗じたものになっている。さらにポテンシャル・エネルギーではなく、スカラー・ポテンシャルと速度\( \; {\bf v} \; \)かけるベクトル・ポテンシャルとを積分した項が、作用積分の表式中第二番に現れている。電磁場はスカラー・ポテンシャルとベクトル・ポテンシャルを用いて表せることから、この作用は電磁場中を運動する一粒子のふるまいを与える。以下それを見ていこう。

 まず\[ f(x, \; y, \; z)=\sqrt{1-(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \]とおいて、これを\( \; {\bf x}=(x, \; y, \; z) \; \)の近傍でテイラー展開する:\[ \begin{eqnarray*} f({\bf x}+d{\bf x}) &=& f({\bf x})+\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz+(\mathrm{se cond \; and \; higher \; order}) \\ &=& f({\bf x})-\dfrac{x}{f ({\bf x})}dx-\dfrac{y}{f ({\bf x})}dy-\dfrac{z}{f ({\bf x})}dz+(\mathrm{se cond \; and \; higher \; order}) \\ &=& f ({\bf x})-\dfrac{{\bf x}}{f ({\bf x})}\cdot d{\bf x}+(\mathrm{se cond \; and \; higher \; order}). \end{eqnarray*} \]同様にスカラー・ポテンシャルの項も\[ \phi ({\bf x}+d{\bf x}, \; t)=\phi({\bf x}, \; t)+\nabla \phi ({\bf x}, \; t) \cdot d{\bf x}+(\mathrm{se cond \; and \; higher \; order}) \]となる。よって、二次以上の箱を除いて書けば、真の軌道\( \; {\bf x}^{\dagger} \; \)に微小なずれ\( \; {\bf r} \; \)を加えたときの変分\( \; \delta f, \; \delta \phi \; \)はそれぞれ、\[ \begin{cases} \delta f =f({\bf v}^{\dagger}/c+\dot{{\bf r}}/c)-f({\bf v}^{\dagger}/c)=-{\bf v}^{\dagger}\cdot \dot{{\bf r}}\Big / c^{2}\sqrt{1-{{\bf v}^{\dagger}}^{2}/c^{2}}, \\ \delta \phi=\phi ({\bf x}^{\dagger}+{\bf r}, \; t)-\phi ({\bf x}^{\dagger}, \; t)=\nabla \phi ({\bf x}^{\dagger}, \; t)\cdot {\bf r}. \end{cases} \]ひとつ目の式の右辺にはずれの時間微分が出てくるので、これを部分積分で消去しておこう:\[ \begin{eqnarray*} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \dfrac{{\bf v}^{\dagger}}{\sqrt{1-{{\bf v}^{\dagger}}^{2}/c^{2}}}\cdot \dot{{\bf r}}dt = \left [ \dfrac{{\bf v}^{\dagger}\cdot {\bf r}}{\sqrt{1-{{\bf v}^{\dagger}}^{2}/c^{2}}} \right ]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{{\bf v}^{\dagger}}{\sqrt{1-{{\bf v}^{\dagger}}^{2}/c^{2}}} \right )\cdot {\bf r}dt \end{eqnarray*} \]右辺第一項の定積分はゼロである。いま\( \; {\bf p}^{\dagger}\equiv m_{0}{\bf v}^{\dagger}\Big / \sqrt{1-{{\bf v}^{\dagger}}^{2}/c^{2}} \; \)とおくと\[ \delta f= \dfrac{1}{m_{0}c^{2}}\dfrac{d{\bf p}^{\dagger}}{dt}. \]

 次にベクトル・ポテンシャルの方にとりかかろう。\[ D({\bf x}, \; t)=\dot{{\bf x}}\cdot {\bf A}({\bf x}, \; t) \]とおく。\( \; {\bf A}=(A_{x}, \; A_{y}, \; A_{z}) \; \)とおいて、小さなずれ\( \; {\bf r} \; \)を加えたときの変化をみてみる。なお二次以上の項は適宜省いていく。すると\[ \begin{eqnarray*} D({\bf x}+{\bf r}, \; t) &=& ({\bf v}+\dot{{\bf r}})\cdot (A_{x}({\bf x}+{\bf r}, \;t), \; A_{y}({\bf x}+{\bf r}, \;t), \; A_{z}({\bf x}+{\bf r}, \;t)) \\ &=& D({\bf x}, \; t)+{\bf v}\cdot (\nabla A_{x}\cdot {\bf r}, \; \nabla A_{y} \cdot {\bf r}, \; \nabla A_{z} \cdot {\bf r})+{\bf A} \cdot \dot{{\bf r}}. \end{eqnarray*}\]となるのでその一次変分は\[ \delta D=v_{x}\nabla A_{x}\cdot {\bf r}+v_{y}\nabla A_{y}\cdot{\bf r}+v_{z}\nabla A_{z}\cdot {\bf r}+{\bf A}\cdot \dot{{\bf r}}. \]最後の項にずれの時間微分が現れているので、これを部分積分により消去すると\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}}{\bf A}\cdot \dot{{\bf r}}dt=\left [ {\bf A}\cdot{\bf r}\right ]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\dfrac{d{\bf A}}{dt}\cdot {\bf r}dt. \]もちろん右辺第一項はゼロである。ところで\[ A_{x}({\bf x}, \; t)=\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x}dx+\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}dy+\dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}dz+\dfrac{\partial A_{x}}{\partial t}dt \]を用いると\[ \dfrac{d A_{x}}{dt}=v_{x}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x}+v_{y}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}+v_{z}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}+\dfrac{\partial A_{x}}{dt}=\{d{\bf A}/dt\}_{x}. \]よって一次変分\( \; \delta D \; \)を書きかえると\[ \begin{eqnarray*} \delta D &=& \left ( v_{x}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial x}+v_{y}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}+v_{z}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x}-\dfrac{dA_{x}}{dt} \right )r_{x} \\ &+& \left ( v_{x}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}+v_{y}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial y}+v_{z}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{dA_{y}}{dt}\right )r_{y} \\ &+&\left ( v_{x}\dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}+v_{y}\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}+v_{z}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z}-\dfrac{dA_{z}}{dt}\right )r_{z} \\ &=& \left [ v_{y}\left ( \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right )-v_{z}\left ( \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x} \right )-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial t} \right ]r_{x} \\ &+& \left [ v_{z}\left ( \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z} \right )-v_{x}\left ( \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right )-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial t} \right ]r_{y} \\ &+& \left [ v_{x}\left ( \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x}\right ) -v_{y}\left (\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z} \right ) -\dfrac{\partial A_{z}}{\partial t} \right ] r_{z} \end{eqnarray*} \]いま冒頭で導いた三重積の公式と最後の式を見比べれば、\[ \delta D= \left [ {\bf v}\times \nabla \times {\bf A}-\dfrac{\partial {\bf A}}{\partial t} \right ]\cdot {\bf r}. \]

 以上でようやく準備が整った。質点が辿る真の軌道\( \; {\bf x}^{\dagger} \; \)から微小なずれ\( \; {\bf r} \; \)を加えたときの、作用に現れる一次変分は、\[ \begin{eqnarray*} \delta S &=& -m_{0}c^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta f dt-q\int_{t_{1}}^{t_{2}}[\delta \phi - \delta D]dt \\ &=& \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left [ -\dfrac{d{\bf p}^{\dagger}}{dt} -q \left (\nabla \phi({\bf x}^{\dagger}, \; t)-{\bf v}^{\dagger} \times \nabla \times {\bf A}({\bf x}^{\dagger}, \; t)+\dfrac{\partial {\bf A}({\bf x}^{\dagger}, \; t)}{\partial t} \right ) \right ] \cdot {\bf r}dt. \end{eqnarray*} \]最小作用の原理により微小なずれがかかっている被積分項は恒等的にゼロでなければならない。すなわち\[  \dfrac{d {\bf p}^{\dagger}}{dt} =q \left [ - \left ( \nabla \phi ( {\bf x}^{\dagger}, \; t) +\dfrac{\partial {\bf A}({\bf x}^{\dagger}, \; t)}{\partial t} \right ) + {\bf v}^{\dagger} \times \nabla \times {\bf A}({\bf x}^{\dagger}, \; t) \right ]. \]マクスウェルの方程式\[ {\bf E}=-\nabla \phi -\dfrac{\partial {\bf A}}{\partial t}, \;\;\; {\bf B}=\nabla \times {\bf A} \]を用いれば上式は\[ \dfrac{d{\bf p}^{\dagger}}{dt}=q[{\bf E}({\bf x}^{\dagger}, \; t)+{\bf v}^{\dagger}\times {\bf B}({\bf x}^{\dagger}, \; t)]. \]もちろん\( \; {\bf E}, \; {\bf B} \; \)はそれぞれ電場、磁場である。真の軌道が描く軌道の満たす方程式である上式の右辺は、ローレンツ力にほかならない。こうして相対論においても作用という量が存在し、最小作用の原理から正しい運動方程式が導かれることがわかった。

ラグランジアン

「相対論における作用をみればわかるように、より一般的ケースでは、作用積分はもう運動エネルギーマイナスポテンシャル・エネルギーの形をしていません。それは相対論を用いず近似する場合にのみ正しいのであって、例えば\( \; m_{0}c^{2}\sqrt{1-{\bf v}^{2}/c^{2}} \; \)という項はわたしたちが運動エネルギーと呼ぶものではありません。作用がどういう形で表されるのかという問題は、個々の具体的なケースに応じて、試行錯誤をしながら解決するものです。物体の運動法則を明らかにするときも、まずやるのはこれと同じことなのです。既知の方程式をあれこれいじくり回して、それが最小作用の原理という形で述べられるかどうかをみるわけです」

「もうひとつ用語の説明を加えておきましょう。作用\( \; S \; \)を与える、時間上で積分される関数のことをラグランジアン\( \; \mathcal{L} \; \)と呼び、粒子の位置と速度のみに依存します。そこで作用の表式は\[ S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathcal{L}(x_{i}, \; v_{i})dt \]と書けます。ここで\( \; x_{i}, \; v_{i} \; \)は各粒子の位置と運動量の全成分を表しています」