着想メトロ

アイデアとは、世界の捉え方を再構成することで新たな価値を獲得し、さらにそれを経験によって持続させる、一連のプロセスのこと。

未来から唯一の過去を手繰り寄せる

基礎準備

 最初に「逆写像」という概念を説明する。簡単のため一次元を例にとろう。なお、動機づけとなった以下の記事も参照のこと:離散写像の性質をつかむ - pen3e's blog

 いまここに変数\( \; x \; \)から新たに\( \; y \; \)をつくりだす規則\( \; f \; \)があったとする。この\( \; f \; \)はたとえば「\( \; x \; \)を二倍する」などの操作を表す。その場合\( \; x \; \)と\( \; y \; \)の対応を\[ y=f(x)=2x \]

のように書き記すのであった。もう少し\( \; f \; \)の「対応させる」という機能を強調したい場合は、\[ f: \:\: x \mapsto 2x \]

とも書く。これが「写像(ある集合を別の集合へと変換する何かしらのアルゴリズム)」という概念である。単に写像と言った場合は、数のみでなくより抽象的な集合、たとえばある演算規則をもった集合などを考えることもできる。もちろん上記の写像に関しては、「\( \; x \; \)を二倍する」という演算が明確に定義されていなければならない。

 

 では逆に、変換された\( \; y \; \)からもとの\( \; x \; \)を求めることはできるだろうか。つまりある未来\( \; y \; \)(写像で変換された後という意味で)から、\[ f(x)=y \]

を満たすような過去\( \; x \; \)(写像で変換される前という意味で)を知ることはできるだろうか。

 上の例の場合、新たな写像\( \; g \; \)を、\[ g(y)=\dfrac{1}{2}y \]

で定義すると、すべての実数\( \; y \; \)に対してその過去\( \; x \; \)は一意に定まる。すなわち\[ \begin{eqnarray*} x &=&\dfrac{1}{2}( 2x ) = \dfrac{1}{2}(f(x)) \\ &=& \dfrac{1}{2}y = g(y). \end{eqnarray*} \]

このとき\( \; g \; \)を\( \; f \; \)の「逆写像」とよぶ。この語は\( \; x \; \)と\( \; y \; \)が「一対一」に対応づけられていることを示唆するのである。

 逆写像が存在するとき、もとの写像は可逆であるという。よって\( \; x \; \)を実数上で考えれば\( \; f \; \)は可逆であるし、また\( \; y \; \)を実数上で考えれば\( \; g \; \)も可逆である。このときはもちろん過去と未来を反転させて考えるわけだ。要するに大事なことは、「二倍する」という操作に対して「二で割る」という逆操作があるという事実である。そういうわけだから操作の種類によっては、逆操作が存在しない場合もあることになる。

 では次に\( \; f \; \)として「二乗する」という操作を取り上げてみる: \[ f(x)=x^{2}, \;\;\; x \in \mathbb{R}. \]

この写像は可逆だろうか。実はある条件のもと可逆となる。

 逆操作としてはすぐに「根号をとる」ことを思いつくだろう。問題は二乗するという操作は符号情報を半減してしまうことである。つまり絶対値が同じ値であれば符号が違っても未来は同一になる。ここに不可逆性が生じる。ある未来が知られているとき、そこから過去を特定する段階で、根号の正負どちらの符号を取るかで二つの可能性がでてくる。つまり二つの異なる過去が同じ未来へと向かうのだ。この場合\( \; f \; \)は不可逆だという。

 だがここで、過去に関する情報を追加したらどうなるか。すなわち\( \; x \; \)の動く範囲を正の範囲に制限するのである:\[ \bar{f}(x)=x^{2}, \;\;\; x > 0. \]

 これで符号情報が補完された(つまり根号は正しかとらないと約束した)ので、ある未来から一意に過去を突きとめることができ、その逆写像\( \; \bar{g} \; \)は\[ \bar{g}(y)=y^{1/2}, \;\;\; y > 0 \]

である。適当な定義域を設定すれば逆写像を得られることもあるということだ。まとめると、\[ \begin{cases} y= \bar{f}(x), \;\;\; x>0, \\ x= \bar{g}(y), \;\;\; y>0. \end{cases} \]

 可逆性を知る方法として、微分係数を計算する方法がある。第一の例では\[ \dfrac{df(x)}{dx}=2>0 \]

であって定義域上で常に正であるから狭義単調増加であり、これは\( \; x \; \)と\( \; y \; \)が一対一に対応していることを意味する。ゆえに逆写像が存在することがわかるのだ。またこのとき\[ \dfrac{dg(y)}{dy}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\dfrac{df(y)}{dx}} \]

が成り立っていることを注意しておく。

 では第二の例はどうだろうか。\[ \begin{cases} \dfrac{df(x)}{dx}=2x, \;\;\; x \in \mathbb{R}, \\ \dfrac{d\bar{f}(x)}{dx}=2x>0, \;\;\; x >0 \end{cases} \]

だから、後者は前例と同じく常に単調増加、すなわち可逆である。それに対して前者は\( \; x=0 \; \)を境にして符号が変わる。これは何を意味するかというと、\( \; f(x) \; \)が、\( \; x \; \)を動かすときに、減少から増加へと転じる点があるということである。この点(\( \; x=0 \; \))を含むような領域を\( \; f \; \)の定義域にしてしまうと、\( \; f \; \)は可逆でなくなってしまう。 というのも、ある未来\( \; y>f(0)=0 \; \)を固定したとき、減少領域に属す\( \; x_{1} \; \)で\( \; y=f(x_{1}) \; \)を満たすものと、増加領域に属す\( \; x_{2} \; \)で\( \; y=f(x_{2}) \; \)を満たすものと、二つの異なる過去があるからである。 

 しかし、微分係数がゼロでないような点の、十分小さな近傍をとれば、その近傍内で微分係数の符号は一定となるだろう。そして微分係数の符号が一定ということは写像が単調であるということだから、逆写像が考えられるわけだ。例えば\( \; x=1 \; \)における微分係数は\( \; df(x)/dx|_{x=1}=2 \; \)であってこの点で増加傾向にある。よって\( \; x=1 \; \)の十分小さな近傍をとれば、この近傍内で写像は狭義単調増加となるだろう。よってこの近傍内で写像を定義できるのだ。

 まとめると、可逆性を議論するときには、微分係数がゼロであるかないかというのが判断基準になる。そして逆写像を局所的に構成するという方針が今後重要になる。ただしこれは一次元の場合であり、多次元の場合に微分係数と同じ役割を果たすのが「関数行列式」、いわゆるヤコビアンなのだ。

 

予備補題群とその証明(参考書:『解析入門Ⅱ』/小平邦彦

 以下、「領域」とは連結開集合を指し、\( \; D \subset \mathbb{R}^{2} \; \)の内点全体の集合を\( \; (D) \; \)とかくことにする。

定義a(無限小)\( \displaystyle \lim_{(x, \; y) \to (0, \; 0)} \gamma (x, \; y)=\gamma (0, \; 0)=0 \; \)なる関数\( \; \gamma (x, \; y) \; \)を無限小といい、\( \; \varepsilon (x, \; y), \; \gamma (x, \; y) \; \)が無限小であるとき、無限小\( \; \varepsilon (x, \; y) \gamma (x, \; y) \; \)を\( \; o(\gamma (x, \; y)) \; \)で表す。すなわち\( \; o(\gamma (x, \; y)) \; \)は\( \; \gamma (x, \; y) \; \)よりも高次の無限小である:\[ \lim_{(x, \; y) \to (0, \; 0)} \dfrac{o(\gamma(x, \; y))}{\gamma (x, \; y)}=0. \]

定義b(二変数関数の微分可能性\( f(x, \; y) \; \)をある領域\( \; D \; \)で定義された二変数\( \; x, \; y \; \)の関数、\( \; (a, \; b) \; \)を\( \; D \; \)に属する点とする。このとき、定数\( \; A, \; B \; \)が存在して\[ (1) \;\;\; f(x, \; y)=f(a, \; b)+A(x-a)+B(y-b)+o\left ( \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} \right ) \]

が成り立つならば、関数\( \; f(x, \; y) \; \)は点\( \; (a, \; b) \; \)で微分可能であるという。

補題c(微分可能性と連続性)\( \; f(x, \; y) \; \)が点\( \; (a, \; b) \; \)で微分可能ならばその点で連続である。

証明。\( (1) \; \)において\( \; (x, \; y) \to (a, \; b) \; \)の極限をとれば、定義aによって\[ \lim_{(x, \; y) \to (a, \; b)} f(x, \; y)=f(a, \; b). \]

補題d. \( f(x, \; y) \; \)が\( \; (a, \; b) \; \)で微分可能ならばこの点で\( \; x, \; y \; \)について偏微分可能であって、定係数\( \; A, \; B \; \)はこの点での偏微分係数\( \; f_{x}(a, \; b), \; f_{y}(a, \; b) \; \)に等しい。

証明。\( (1) \; \)において\( \; y=b \; \)とすれば\[  f(x, \; b)=f(a, \; b)+A(x-a)+o(x-a), \]

すなわち\[ \lim_{x \to a}\dfrac{f(x, \; b)-f(a, \; b)}{x-a}=A. \]

同様に\[ \lim_{y \to b}\dfrac{f(a, \; y)-f(a, \; b)}{y-b}=B. \]

ゆえに\( \; x,\; y \; \)を\( \; x+h, \; y+k \; \)、\( \; a, \; b \; \)を\( \; x, \; y \; \)でそれぞれ置きかえれば\( \; (1) \; \)は、\[ (2) \;\;\; f(x+h, \; y+k)=f(x, \; y)+f_{x}(x, \; y)h+f_{y}(x, \; y)k+o\left ( \sqrt{h^{2}+k^{2}} \right ) \]

となる。

補題e(偏微分可能性と微分可能性\( D \; \)で\( \; f(x, \; y) \; \)の偏導関数\( \; f_{x}(x, \; y), \; f_{y}(x, \; y) \; \)が存在し、連続ならば\( \; f(x, \; y) \; \)は\( \; D \; \)で微分可能である。

証明。まず\[ \begin{eqnarray*} f(x+h, \; y+k)-f(x, \; y)= &\{ & f(x+h, \; y+k)-f(x, \; y+k) \} \\ &+& \{ f(x, \; y+k)-f(x, \; y) \} \end{eqnarray*} \]

と変形できることに注意する。そこで\( \; y+k \; \)を固定すれば、仮定により\( \; f(x+h, \; y+k) \; \)が\( \; h \; \)に関して微分可能であるから、平均値の定理により\[ f(x+h, \; y+k)-f(x, \; y+k)=f_{x}(x+\theta h, \; y+k)h, \;\;\; 0<\theta<1. \]

また\( \; f_{x}(x, \; y) \; \)は\( \; D \; \)で連続だから、\( \; (h, \; k) \to (0, \; 0) \; \)のとき\( \; \varepsilon (h, \; k)=\varepsilon (0, \; 0)=0 \; \)を満たすような無限小を用いて\[ f_{x}(x+\theta h, \; y+k)-f_{x}(x, \; y)=\varepsilon (h, \; k) \]

と表せる。よって\[  f(x+h, \; y+k)-f(x, \; y+k)=f_{x}(x, \; y)h+o(h). \]

同じように\( \; f(x, \; y+k) \; \)は\( \; x \; \)を固定するとき、\( \; k \; \)に関して微分可能であるから、\[ f(x, \; y+k)-f(x, \; y)=f_{y}(x, \; y)k+o(k). \]

以上から\[ f(x+h, \; y+k)-f(x, \; y)=f_{x}(x, \; y)h+f_{y}(x, \; y)k+o(h)+o(k) \]

がわかるが、\( \; o(h)+o(k) \; \)は\( \; o\left ( \sqrt{h^{2}+k^{2}} \right ) \; \)と同値であるから、\( \; D \; \)で\( \; (2) \; \)が成立していることが示された。

補題f(合成関数の連続性) \( D \; \)を平面上の領域、\( \; \phi(t), \; \psi(t) \; \)をある区間\( \; I \; \)で定義された関数とし、\( \; t \in I \; \)ならば\( \; (\phi(t), \; \psi(t)) \in D \; \)であるとする。二変数\( \; x, \; y \; \)の関数\( \; f(x, \; y) \; \)の定義域が\( \; D \; \)をその部分集合として含むとき、合成関数\( \; f(\phi(t), \; \psi(t)) \; \)は\( \; I \; \)で定義された\( \; t \; \)の関数となる。このとき\( \; \phi(t), \; \psi(t) \; \)が\( \; I \; \)で連続、\( \; f(x, \; y) \; \)が\( \; D \; \)で連続ならば、合成関数\( \; f(\phi(t), \; \psi(t)) \; \)は連続である。

証明。点\( \; t' \in I \; \)を任意に選んで、\( \; a=\phi(t'), \; b=\psi(t') \; \)とおけば仮定により\( \; (a, \; b) \in D \; \)である。よって\( \; f(x, \; y) \; \)の連続性から、任意に\( \; \varepsilon>0 \; \)をとると、ある\( \; \delta_{1}>0 \; \)がそれに対応して定まって、\[ |x-a|<\delta_{1}, \; |y-b|<\delta_{1} \Longrightarrow |f(x, \; y)-f(a, \; b)|<\varepsilon. \]

また\( \; \phi(t), \; \psi(t) \; \)の連続性から、\( \; \delta_{1} \; \)に対応して新たに\( \; \delta_{2}>0 \; \)が定まって、\[ |t-t'|<\delta_{2} \Longrightarrow |\phi(t)-\phi(t')|<\delta_{1}, \; |\psi(t)-\psi(t')|<\delta_{1} \]

が成り立つ。以上から任意の正数\( \; \varepsilon \; \)に対して\[ |t-t'|<\delta_{2} \Longrightarrow |f(x, \; y)-f(a, \; b)|=|f(\phi(t), \; \psi(t))-f(\phi(t'), \; \psi(t'))|<\varepsilon. \]

補題g(合成関数の微分可能性:チェーンルール) \( \phi(t), \; \psi(t) \; \)が\( \; t \; \)について微分可能、\( \; f(x, \; y) \; \)が\( \; D \; \)で二変数\( \; x, \; y \; \)について微分可能ならば合成関数\( \; f(\phi(t), \; \psi(t)) \; \)は\( \; t \; \)について微分可能であって\[ (3) \;\;\; \dfrac{d}{dt}f(\phi(t), \; \psi(t))=f_{x}(\phi(t), \psi(t))\phi '(t)+f_{y}(\phi(t), \; \psi(t))\psi '(t). \]

証明。\( x=\phi(t), \; y=\psi(t), \; z=f(x, \; y) \; \)とおくとき、\( \; t \; \)の増分\( \; \Delta t \; \)に対応する\( \; x, \; y, \; z \; \)の増分\[ \begin{cases} \Delta x=\phi(t+\Delta t)-\phi(t), \\ \Delta y=\psi(t+\Delta t)-\psi(t), \\ \Delta z=f(x+\Delta x, \; y+\Delta y)-f(x, \;y) \end{cases} \]

を定義する。このとき、まず一変数関数が微分可能であることの定義により、\[ \begin{cases} \Delta x=\phi '(t)\Delta t + o(\Delta t), \\ \Delta y=\psi '(t)\Delta t + o(\Delta t). \end{cases} \]

よって\( \; (2) \; \)から、\[ \begin{eqnarray*} \Delta z &=& f_{x}(x, \; y)\Delta x+f_{y}(x, \; y)\Delta y + o\left ( \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} \right ) \\ &=& (f_{x}(x,\; y)\phi '(t)+f_{y}(x, \; y)\psi '(t)) \Delta t + o(\Delta t). \end{eqnarray*} \] 

すなわち\[ \lim_{\Delta \to 0}\dfrac{\Delta z}{\Delta t}=f_{x}(x, \; y)\phi '(t)+f_{y}(x, \; y)\psi '(t) \]

となって\( \; (3) \; \)が成り立つ。これを書き直せば、\[ (4) \;\;\; \dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}. \]

補題h(合成関数の連続微分可能性 \( \phi(t), \; \psi(t) \; \)が\( \; t \; \)について連続微分可能で、\( \; f(x, \; y) \; \)が\( \; D \; \)で\( \; x, \; y \; \)について連続微分可能ならば、\( \; f(\phi(t), \; \psi(t)) \; \)は\( \; t \; \)について連続微分可能である。

証明。\( (3) \; \)から明らか。

補題i(二変数関数からなる合成関数の連続性) \( \phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t) \; \)を領域\( \; E \; \)で定義された二変数\( \; s, \; t \; \)の関数で、\( \; (s, \; t) \in E \; \)ならば\( \; (\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \in D \; \)であるとする。二変数\( \; x, \; y \; \)の関数\( \; f(x, \; y) \; \)の定義域が領域\( \; D \; \)をその部分集合として含むとし合成関数\( \; f(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \; \)を考える。\( \; \phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t) \; \)が連続、\( \; f(x, \; y) \; \)が\( \; D \; \)で連続ならば\( \; f(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \; \)は連続である。

証明補題fと同じように証明できる。

補題j(二変数からなる合成関数の連続微分可能性 \( \phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t) \; \)が\( \; s, \; t \; \)について連続微分可能で、\( \; f(x, \; y) \; \)が\( \; D \; \)で\( \; x, \; y \; \)について連続微分可能ならば合成関数\( \; f(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \; \)は\( \; s, \; t \; \)について連続微分可能である。

証明補題gによって\( \; f(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \; \)は\( \; s, \; t \; \)について偏微分可能で、\[ \begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial s}f(\phi, \; \psi)=f_{x}(\phi, \; \psi)\phi_{s}(s, \; t)+f_{y}(\phi, \; \psi)\psi_{s}(s, \; t), \\ \dfrac{\partial}{\partial t}f(\phi, \; \psi)=f_{x}(\phi, \; \psi)\phi_{t}(s, \; t)+f_{y}(\phi, \; \psi)\psi_{t}(s, \; t). \end{cases} \]

補題iによって\( \; f_{x}(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)), \; f_{y}(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \; \)は二変数\( \; s, \; t \; \)の連続関数であるから、補題の証明が完了した。

補題k(二変数からなる合成関数の微分可能性\( \phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t) \; \)が二変数\( \; s, \; t \; \)について微分可能で、\( \; f(x, \; y) \; \)が\( \; D \; \)で二変数\( \; x, \; y \; \)に関して微分可能ならば合成関数\( \; f(\phi(s, \; t), \; \psi(s, \; t)) \; \)は\( \; s, \; t \; \)について微分可能である。

証明。\( (2) \; \)によって\[ \begin{cases} \Delta x=\dfrac{\partial x}{\partial s}\Delta s+\dfrac{\partial x}{\partial t}\Delta t+o \left (\sqrt{\Delta s^{2}+\Delta t^{2}} \right ), \\ \Delta y=\dfrac{\partial y}{\partial s}\Delta s + \dfrac{\partial y}{\partial t}\Delta t + o \left ( \sqrt{\Delta s^{2}+\Delta t^{2}} \right ), \\ \Delta z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o \left ( \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} \right ). \end{cases} \]

すなわち\[ \Delta z=\left ( \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial s}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial s} \right )\Delta s +\left ( \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial t}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial t} \right )\Delta t +o\left ( \sqrt{\Delta s^{2}+\Delta t^{2}} \right ). \]

定義l(写像の連続性と微分可能性\( x=\phi(u, \; v), \; y=\psi(u, \; v) \; \)を平面上のある点集合\( \; E \; \)で定義された二変数\( \; u, \; v \; \)の関数とすれば各点\( \; (u, \; v) \in E \; \)にそれぞれ一つの点\( \; (x, \; y) \in \mathbb{R}^{2} \; \)が対応する。この対応\[ \Phi: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; y)=\Phi(u, \; v)=(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)) \]

はもちろん\( \; E \; \)から\( \; \mathbb{R}^{2} \; \)への写像である。\( \; \phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v) \; \)が二変数\( \; u, \; v \; \)の連続写像であるとき\( \; \Phi \; \)を連続写像という。また\( \; E \; \)が領域で\( \; \phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v) \; \)が\( \; E \; \)において連続微分可能であるとき\( \; \Phi \; \)を連続微分可能な写像という。

補題m. \( \Phi: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; y)=(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)) \; \)が領域\( \; E \; \)において連続微分可能、\( \; \Psi: \;\; (x, \; y) \mapsto (w, \; z)=(\zeta(x, \; y), \; \xi(x, \; y)) \; \)が領域\( \; D \; \)において連続微分可能で\( \; \Phi(E) \subset D \; \)ならば合成写像\[ \Psi \circ \Phi: \;\; (x, \; y) \mapsto (w, \; z)=(\zeta(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)), \; \xi(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v))) \]

は\( \; E \; \)において連続微分可能である。

証明補題jから\( \; \zeta(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)), \; \xi(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)) \; \)のそれぞれが\( \; E \; \)において連続微分可能だから、定義lにより補題が示された。

 

 さて、ようやく示したかった定理に入る。

定理(逆写像定理)\( \; \Phi: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; y)=(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)) \; \)を領域\( \; E \; \)から\( \; \mathbb{R}^{2} \; \)への連続微分可能な写像、\( \; J(u, \; v)=\phi_{u}\psi_{v}-\phi_{v}\psi_{u} \; \)をその関数行列式とする。このとき点\( \; (u_{0}, \; v_{0}) \in E \; \)において\( \; J(u_{0}, \; v_{0}) \neq 0 \; \)ならば\( \; \Phi \; \)は\( \; (u_{0}, \; v_{0}) \; \)の十分小さな近傍\( \; U \subset E \; \)を\( \; (x_{0}, \; y_{0})=\Phi(u_{0}, \; v_{0}) \; \)の一つの近傍\( \; W \; \)へ一対一に写す。そして\( \; \Phi \; \)の定義域を\( \; U \; \)に制限すれば\( \; \Phi \; \)の逆写像\( \; \Phi^{-1} \; \)は\( \; W \; \)において連続微分可能である。

 この定理を証明するために、\( \; \Phi: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; y) \; \)を\( \; \Phi_{1}: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; v) \; \)と\( \; \Phi_{2}: \;\; (x, \; v) \mapsto (x, \; y) \; \)の合成写像\( \; \Phi_{2} \circ \Phi_{1} \; \)と考えて、次の補題を証明する。

補題n. \( \phi(u, \; v) \; \)が矩形\( \; K= \{(u, \; v) \; | \; a \leq u \leq b, \; c \leq v \leq d \} \; \)において連続微分可能でつねに\( \; \phi_{u}(u, \; v)>0 \; \)ならば\[ \Phi_{1}: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; v)=(\phi(u, \; v), \; v) \]

は\( \; K \; \)を閉区域\[ H=\{(x, \; v) \; | \; \phi(a, \; v) \leq x \leq \phi(b, \; v), \; c \leq v \leq d\} \]

の上に写す一対一の連続写像で、その逆写像は\( \; H \; \)で定義された連続関数\( \; \zeta(x, \; v) \; \)を用いて\[ \Phi_{1}^{-1}: \;\; (x, \; v) \mapsto (u, \; v)=(\zeta(x, \; v), \; v) \]

と表される連続写像である。\( \; \Phi_{1} \; \)は\( \; (K) \; \)において連続微分可能、\( \; \Phi_{1}^{-1} \; \)は\( \; (H) \; \)において連続微分可能、すなわち\( \; \zeta(x, \; v) \; \)は\( \; (H) \; \)で連続微分可能な関数である。

証明。\( v \; \)を固定すれば、\( \; \phi_{u}(u, \; v)>0 \; \)より\( \; x=\phi(u, \; v) \; \)は閉区間\( \; [a, \; b] \; \)で定義された\( \; u \; \)の連続微分可能な単調増加関数である。よってその値域は\( \; [\phi(a, \; v), \; \phi(b, \; v)] \; \)、その逆関数\( \; u=\zeta(x, \; v) \; \)は\( \; [\phi(a, \; v), \; \phi(b, \; v)] \; \)で定義された\( \; x \; \)の連続微分可能な単調増加関数で\[ (5) \;\;\; \zeta_{x}(x, \; v)=\dfrac{1}{\phi_{u}(u, \; v)}, \;\;\; u=\zeta(x, \; v) \]

である。\( \; x=\phi(u, \; v) \; \)の値域が\( \; [\phi(a, \; v), \; \phi(b, \; v)] \; \)であるから、\( \; \Phi_{1}: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; v)=(\phi(u, \; v, \; v)) \; \)の値域は閉区域\( \; H \; \)である。\( \; \zeta(x, \; v) \; \)の定義により\( \; \zeta(\phi(u, \; v), \; v)=u \; \)だから\( \; (x, \; v) \mapsto (\zeta(x, \; v), \; v)=(u, \; v) \; \)は\( \; \Phi_{1} \; \)の逆写像を与える:\[ \Phi_{1}^{-1}: \;\; (x, \; v)=(u, \; v)=(\zeta(x, \; v), \; v). \]

\( \zeta(x, \; v) \; \)が\( \; H \; \)において二変数\( \; x, \; v \; \)の連続関数であることを示すために、\( \; \zeta(x, \; v) \; \)が点\( \; (x', \; v') \; \)において連続でないと仮定しよう。するとある正の実数\( \; \varepsilon \; \)に対して\( \; (x', \; v') \; \)に収束する点列\( \; \{(x_{n}, \; v_{n})\}, \; (x_{n}, \; v_{n}) \in H \; \)で\[ |\zeta(x_{n}, \; v_{n})-\zeta(x', \; v')| \geq \varepsilon \]

となるものが存在する。\( \; u_{n}=\zeta(x_{n}, \; v_{n}) \; \)とおけば、\( \; a\leq u_{n} \leq b \; \)により\( \; \{u_{n}\} \; \)は有界列であるので、Bolzano-Weierstrassの定理によって収束する部分列\( \; \{u_{n_{i}}\}, \; n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{i}< \ldots \; \)をもつ。その極限を\( \; \bar{u}=\lim_{i \to \infty}u_{n_{i}} \; \)とし\( \; u'=\zeta(x', \; v') \; \)とおけば\[ |\bar{u}-u'|\geq \varepsilon. \]

ところで\( \; u=\zeta(x, \; v) \; \)ならば\( \; x=\phi(u, \; v) \; \)であるから\( \; x_{n_{i}}=\phi(u_{n_{i}}, \; v_{n_{i}}), \; x'=\phi(u', \; v') \; \)である。\( \; (x_{n}, \; v_{n}) \; \)は\( \; (x', \; v') \; \)へと収束するのだから、部分列も同じ極限をもつはずである:\[ x'=\lim_{i \to \infty}x_{n_{i}}. \]

また\( \; \phi(u, \; v) \; \)の連続性から\[ \lim_{i \to \infty}x_{n_{i}}=\lim_{i \to \infty}\phi(u_{n_{i}}, \; v_{n_{i}})=\phi(c, \; v'). \]

つまり\( \; \phi(u', \; v')=\phi(c, \; v') \; \)かつ\( \; c \neq u' \; \)ということになるが、これは\( \; \phi(u, \; v) \; \)が\( \; u \; \)の単調増加関数であることに矛盾する。これで\( \; \zeta(x, \; v) \; \)が二変数\( \; x, \; v \; \)の連続関数であることが示された。

\( \zeta(x, \; v) \; \)は\( \; (5) \; \)によって\( \; x \; \)について偏微分可能で\( \; \zeta_{x}(x,\; v) \; \)は二変数\( \; x, \; v \; \)の連続関数である。さらに\( \; u=\zeta(x, \;v) \; \)が\( \; (H) \; \)において\( \; v \; \)に関して偏微分可能であることを示す。そこで\( \; v \; \)の増分\( \; \Delta v \; \)に対する\( \; u \; \)の増分を\( \; \Delta u \; \)とする:\( \; \Delta u =\zeta(x, \; v+\Delta v)-u. \; \)すると\[ \phi(u+\Delta u, \; v+ \Delta v)=\phi(\zeta(x, \; v+\Delta v), v+\Delta v)=x=\phi(u, \; v) \]

であるから\( \; \phi(u+\Delta u, \; v+\Delta v)-\phi(u, \; v)=0 \; \)となるので、Taylorの公式により\[ \phi_{u}(u+\theta \Delta u, \; v+\theta \Delta v)\Delta u+\phi_{v}(u+\theta \Delta u, v+\theta \Delta v)\Delta v =0, \;\;\; 0<\theta<1.\]

\( u=\zeta(x, \; v) \; \)は\( \; x, \; v \; \)の連続関数であるから\( \; \Delta v \to 0 \; \)のとき\( \; \Delta u \to 0 \; \)である。ゆえに\[ \lim_{\Delta v \to 0}\dfrac{\Delta u}{\Delta v}=-\lim_{\Delta v \to 0}\dfrac{\phi_{v}(u+\theta \Delta u, \; v+\theta \Delta v)}{\phi_{u}(u+\theta\Delta u, \; v+\theta \Delta v)}=-\dfrac{\phi_{v}(u, \; v)}{\phi_{u}(u, \; v)}. \]

すなわち\( \; \zeta(x, \; v) \; \)は\( \; (H) \; \)において\( \; v \; \)に関して偏微分可能であり、\[ (6) \;\;\; \zeta_{v}(x, \; v)=-\dfrac{\phi_{v}(u, \; v)}{\phi_{u}(u,\; v)}, \;\;\; u=\zeta(x, \; v). \]

以上から\( \; \zeta_{v}(x, \; v) \; \)が\( \; (H) \; \)において二変数\( \; x, \; v \; \)の連続関数、つまり\( \; \zeta(x, \; v) \; \)は\( \; (H) \; \)で\( \; x, \; v \; \)に関して連続微分可能な関数である。

この補題はもちろん\( \; \phi_{u}(u, \; v)<0 \; \)の場合にもまったく同様に議論できる。

定理の証明。仮定により\[ J(u_{0}, \; v_{0})=\phi_{u}(u_{0}, \; v_{0})\psi_{v}(u_{0}, \; v_{0})-\phi_{v}(u_{0}, \; v_{0})\psi_{u}(u_{0}, \; v_{0}) \neq 0 \]

だから\( \; \phi_{u}(u_{0}, \; v_{0}), \; \phi_{v}(u_{0}, \; v_{0}) \; \)の少なくとも一方はゼロでない。どちらにしても同じことなので、\( \; \phi_{u}(u_{0}, \; v_{0})>0, \: J(u_{0}, \; v_{0})>0 \; \)と仮定して定理を示そう。このとき\( \; \phi_{u}(u, \; v), \; J(u, \; v) \; \)は\( \; (E) \; \)で連続であるから、\( \; (u_{0}, \; v_{0}) \; \)の\( \; \varepsilon \; \)近傍\( \; U_{\varepsilon}(u_{0}, \; v_{0}) \subset E, \; \varepsilon >0 \; \)を十分小さくとれば、この近傍内においてつねに\( \; \phi_{u}(u, \; v)>0, \; J(u, \; v)>0 \; \)となる。

\( a=u_{0}-\varepsilon/2, \; b=u_{0}+\varepsilon/2, \; c=v_{0}-\varepsilon/2, \; d=v_{0}+\varepsilon/2 \; \)として\[ K=\{(u, \; v) \; | \; a \leq u \leq b, \; c \leq v \leq d \} \]

とおけば、補題nによって\[ \Phi_{1}: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; v)=(\phi(u, \; v), \; v) \]

は\( \; K \; \)を閉区域\( \; H=\{(x, \; v) \; | \; \phi(a, \; v) \leq x \leq \phi(b, \; v), \; c \leq v \leq d\} \; \)の上に写す一対一の連続写像で、その逆写像\[ \Phi_{1}^{-1}: \;\; (x, \; v) \mapsto (u, \; v)=(\zeta(x, \; v), \; v) \]

は\( \; H \; \)で連続、\( \; (H) \; \)で連続微分可能である。

\[ \Phi: \;\; (u, \; v) \mapsto (x, \; y)=(\phi(u, \; v), \; \psi(u, \; v)) \]

は\( \; E \; \)において連続微分可能であるので、補題mにより\[ \Phi_{2}=\Phi \circ \Phi_{1}^{-1}: \;\; (x, \; v) \mapsto (x, \; y)=(x, \; \psi(\zeta(x, \; v), \; v)) \]

は\( \; (H) \; \)において連続微分可能である。\[ \xi(x, \; v)=\psi(\zeta(x, \; v), \; v) \]

とおけば\( \; \xi(x, \; v) \; \)は補題jによって\( \; (H) \; \)で連続微分可能な関数で\[ \Phi_{2}: \;\; (x, \; v) \mapsto (x, \; y)=(x, \; \xi(x, \; v)) \]

となる。\( \; (x_{0}, \; v_{0})=\Phi_{1}(u_{0}, \; v_{0})=(\phi(u_{0}, \; v_{0}, \; v_{0}) \; \)とおけば\( \; \phi(a, \; v_{0})<u_{0}<\phi(b, \; v_{0}), \; c<v_{0}<d \; \)となるから\( \; (x_{0}, \; v_{0}) \in (H) \; \)である。\( \; \xi(x, \; v)=\psi(\zeta(x, \; v), \; v) \; \)を\( \; v \; \)について微分すれば、補題jと補題nにより\[ \xi_{v}=\psi_{u}\zeta_{v}+\psi_{v}=\dfrac{\phi_{u}\psi_{v}-\phi_{v}\psi_{u}}{\phi_{u}}, \]

すなわち\[ (7) \;\;\; \xi_{v}(x, \; v)=\dfrac{J(u, \; v)}{\phi_{u}(u, \; v)}, \;\;\; u=\zeta(x, \; v). \]

\( J(u, \; v)>0, \; \phi_{u}(u, \; v)>0 \; \)だから\( \; (H) \; \)においてつねに\( \; \xi(x, \; v)>0 \; \)となるので、\( \; (H) \; \)内に\( \; (x_{0}, \; v_{0}) \; \)を中心とする矩形\[ K_{1}=\{(x, \; v) \; | \; c_{1}\leq x \leq d_{1}, \; a_{1} \leq v \leq b_{1} \} \]

をとって\( \; \Phi_{2} \; \)の定義域を\( \; K_{1} \; \)に制限し、補題nを\( \; u, \; v, \; x, \; \phi(u, \; v) \; \)のかわりに\( \; v, \; x, \; y, \; \xi(x, \; v) \; \)に対して適用すれば\[ \Phi_{2}: \;\; (x, \; v) \mapsto (x, \; y)=(x, \; \xi(x, \; v)) \]

は\( \; K_{1} \; \)を閉区域\[ H_{1}=\{(x, \; y) \; | \; c_{1}\leq x \leq d_{1}, \; \xi(x, \; a_{1})\leq y \leq \xi(x, \; b_{1})\} \]

の上に写す一対一の連続写像で\( \; (K_{1}) \; \)を\( \; (H_{1}) \; \)に写し、逆写像\( \; \Phi_{2}^{-1}: \;\; (x, \; y) \mapsto (x,\; v) \; \)は\( \; H_{1} \; \)で連続、\( \; (H_{1}) \; \)で連続微分可能であることがわかる。ゆえに\( \; \Phi_{1} \; \)による\( \; (K_{1}) \; \)の逆像:\[ U=\Phi_{1}^{-1}\{(K_{1})\}=\{(u, \; v) \; | \; \zeta(c_{1}, \; v)<u<\zeta(d_{1}, \; v), \; a_{1}<v<b_{1} \} \]

は\( \; (u_{0}, \; v_{0})=\Phi_{1}^{-1}(x_{0}, \; v_{0}) \; \)含む領域であって、\( \; \Phi=\Phi_{2} \circ \Phi_{1} \; \)は\( \; U \; \)を領域\( \; W=(H_{1}) \; \)の上に写す。そして\( \; \Phi \; \)の定義域を\( \; U \; \)に制限すれば逆写像\( \; \Phi^{-1}=\Phi_{1}^{-1}\circ \Phi_{2}^{-1} \; \)は\( \; W \; \)において連続微分可能である。

 いくつもの平面上を写像によって縦横無尽に駆け回るので、始めは理解しづらい。しかしこの定理は「変数変換」の理論に基礎を与える重要なものである。

 誰でも物理・数学をやっている者にとって、変数変換、座標変換は計算を効率的に進めるため、または観察したい特性を抜き出すために有効な手段であるはずだが、理論的基礎となると、うやむやな場合が多い。

 変数変換はまた、積分理論の重要な基礎ともなっているので、この機会に一から復習しておくと有意義なのではないだろうか。

 ちなみに小平先生の『解析入門』は高木先生の『解析概論』を現代的に改めたもので、非常に見通しがよく整然としている。辞書的に使うのなら寺沢先生の『数学概論』だが、小平先生の本は高木先生の解析概論の特性を十分受け継いでいて、一通り読みとおした時に俯瞰的な理解が得られる良書である。また特に現代数学の土台となっている「実数の連続性」に関する理解を深めるときには、田島先生の『解析入門』が必読である。

 

解析概論 改訂第3版 軽装版

解析概論 改訂第3版 軽装版

 

 

自然科学者のための数学概論 増訂版改版

自然科学者のための数学概論 増訂版改版

 

 

軽装版 解析入門〈1〉

軽装版 解析入門〈1〉

 

 

解析入門 (岩波全書 325)

解析入門 (岩波全書 325)