着想メトロ

アイデアとは、世界の捉え方を再構成することで新たな価値を獲得し、さらにそれを経験によって持続させる、一連のプロセスのこと。

有界領域\( \; D \; \)における重積分の、積分順序交換可能性について

いまここに有界領域\( \; D \; \)で連続な関数\( \; f(x, \; y) \; \)があるとする。

まずこの領域\( \; D \; \)をある有界閉区間\( \; I=[a_{1}, \; b_{1}]\times[a_{2}, \; b_{2}] \; \)で完全に覆う。つぎに、\( \; I \; \)上で関数\( \; \bar{f} \; \)を、\[ \bar{f}(x, \; y)= \begin{cases} f(x, \; y), & (x, \; y) \in D, \\ 0, & (x, \; y) \in I \setminus D \end{cases} \]

によって定義すると\[ \iint_{D} \; f(x, \; y)dxdy=\iint_{I} \; \bar{f}(x, \; y)dxdy. \]

 

\( f \; \)は有界領域で連続であるから、明らかに有界である。よってある定数\( \; M>0 \; \)があって、任意の\( \; (x, \; y) \in D \; \)に対して\( \; |f(x, \; y)|=|\bar{f}(x, \; y)| \leq M \; \)が成り立っているから任意に\( \; y \; \)を固定して\( \; x \; \)を変数としてみたときには、\[ \int_{a_{1}}^{b_{1}} \; | \bar{f}(x, \; y)|dx \leq M(b_{1}-a_{1})<\infty. \]

また\[ \int_{a_{2}}^{b_{2}}dy\int_{a_{1}}^{b_{1}}|\bar{f}(x, \; y)|dx\leq M(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})<\infty \]

が成り立っているからFubini-Tonelliの定理によって積分順序の交換が可能で、\[ \begin{eqnarray*} \iint_{D}  f(x, \; y)dxdy &=& \iint_{I} \bar{f}(x, \; y)dxdy \\ &=& \int_{a_{2}}^{b_{2}} dy \int_{a_{1}}^{b_{1}} \bar{f}(x, \; y)dx \\ &=& \int_{a_{1}}^{b_{1}}dx \int_{a_{2}}^{b_{2}} \bar{f}(x, \; y) dy. \end{eqnarray*} \]

さて、この結果を用いてGreenの定理を証明する。

Greenの定理. 閉曲線\( \; C \; \)とその内部\( \; D \; \)において、ふたつの関数\( \; u(x, \; y), \; v(x, \; y) \; \)の\( \; x, \; y \; \)に関する偏導関数が連続であるとすると\[ \iint_{D} \; (u_{x}-v_{y})dxdy = \oint_{C} \; (udy+vdx). \]

証明。閉曲線\( \; C \; \)を\( \; x \; \)によってパラメータ表示することを考える。\( \; x \; \)の動く範囲が\( \; x_{1} \leq x \leq x_{2} \; \)であったとしよう。このパラメータを使って閉曲線を二つに分割して表現する。すなわち点\( \; (x_{1}, \; \phi(x_{1})) \; \)から発して点\( \; (x_{2}, \; \phi(x_{2})) \; \)に達する経路を\( \; C_{1} \; \)とし、点\( \; (x_{2}, \; \psi(x_{2}))=(x_{2}, \; \phi(x_{2})) \; \)から\( \; (x_{1}, \; \psi(x_{1}))=(x_{1}, \; \phi(x_{1})) \; \)に至る経路を\( \; C_{2} \; \)とすれば、回る向きも含めて\( \; C=C_{1}+C_{2} \; \)である。

次に\( \; C \; \)を\( \; y \; \)によってパラメータ表示することを考える。\( \; y \; \)の動く範囲が\( \; y_{1} \leq y \leq y_{2} \; \)であったとしよう。このパラメータを使って閉曲線を再び二つに分割して表現する。点\( \; (\phi'(y_{1}), \; y_{1}) \; \)から発して点\( \; (\phi'(y_{2}), \; y_{2}) \; \)に達する経路を\( \; C_{3} \; \)、\( \; (\psi'(y_{2}), \; y_{2})=(\phi'(y_{2}), \; y_{2}) \; \)から\( \; (\psi'(y_{1}), \; y_{1})=(\phi'(y_{1}), \; y_{1}) \; \)に至る経路を\( \; C_{4} \; \)とすれば、回る向きも含めて\( \; C=C_{3}+C_{4} \; \)となる。ただし回る向きとは反時計回りを指すものとする。

さて以上の準備をふまえた上で、領域\( \; D \; \)を閉区間\( \; I=[x_{1}, \; y_{1}]\times[x_{2}, \; y_{2}] \; \)で覆い、\( \; I \; \)上で定義された関数\( \; \bar{u}_{x}, \; \bar{v}_{y} \; \)を同様に定義すると、\[ \begin{eqnarray*} \iint_{D} \; u_{x}(x, \; y)dxdy &=& \int_{y_{1}}^{y_{2}}dy\int_{x_{1}}^{x_{2}}\bar{ u}_{x}(x, \; y)dx \\ &=& \int_{y_{1}}^{y_{2}}dy\int_{\psi'(y)}^{\phi'(y)} u_{x}(x, \; y)dx \\ &=&\int_{y_{1}}^{y_{2}} \; \{ u(\phi'(y), \; y)-u(\psi'(y), \; y) \}dy \\ &=& \left ( \int_{C_{3}} - \int_{-C_{4}} \right ) u(x, \; y)dy = \oint_{C}u(x, \; y)dy \end{eqnarray*}\]

まったく同様にして、\[ \begin{eqnarray*} \iint_{D} \; v_{y}(x, \; y)dxdy &=& \int_{x_{1}}^{x_{2}}dx\int_{y_{1}}^{y_{2}}\bar{ v}_{y}(x, \; y)dy \\ &=& \int_{x_{1}}^{x_{2}}dx\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} v_{y}(x, \; y)dy \\ &=&\int_{x_{1}}^{x_{2}} \; \{ v(x, \; \psi(x))-u(x, \; \phi(x)) \}dx \\ &=& \left ( -\int_{C_{1}} + \int_{-C_{2}} \right ) v(x, \; y)dx = -\oint_{C}v(x, \; y)dx. \end{eqnarray*}\]

以上から\[ \iint_{D}u_{x}dxdy-\iint_{D} v_{y}dxdy= \oint_{C} udy+\oint_{C}vdx. \]

このGreenの定理電磁気学でもお馴染みの有用な定理である。この定理を使ってCauchyの積分定理を証明しよう。

Cauchyの積分定理. 単純閉曲線\( \; C \; \)で囲まれた領域を\( \; D \; \)とする。関数\( \; f(z)=f(x, \; y) \; \)が\( \; C \; \)および\( \; D \; \)で正則で、その導関数\( \; f'(z) \; \)が連続であるとき、\[ \oint_{C}f(z)dz=0. \]

証明複素平面上の線積分はその定義より\[ \oint_{C}f(z)dz=\oint_{C}(u \; dx-vdy)+i\oint_{C}(vdx+udy) \]

であるからGreenの定理を適用して\[ \oint_{C}f(z)dx=-\iint_{D}(u_{y}+v_{x})dxdy+i\iint_{D}(u_{x}-v_{y})dxdy. \]

正則な領域で\( \; u, \; v \; \)はCauchy-Riemannの方程式を満たすから、両項の被積分関数はどちらも恒等的にゼロ。従って定理を得る。