「極限」の概念を得たのは数学からではなく、幼少時の木登りからだった。
諸事情により(検索機能のせい)上限supと下限infをそれぞれsp, ifと書く。
まず\( \; \mu^{*} \; \)の構成法から振り返る。\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)上の「区間」\[ I=(a_{1},\; b_{1}]\times\ldots\times (a_{n}, \; b_{n}] \]
の全体を\( \; \mathcal{I}_{n} \; \)、区間塊（有限個の区間の直和として表される集合）の全体を\( \; \mathcal{F}_{n} \; \)と書くことにする。そして\( \; \mathcal{F}_{n} \)-集合関数\( \; m \; \)を、有界な\( \; I \; \)に対しては\[ m(I)=\prod_{\nu =1}^{n}(b_{\nu}-a_{\nu}), \]
有界でない区間\( \; I \; \)に対しては\[ m(I)=\mathrm{sp} \; m(J), \]
ただし上限は\( \; I \; \)に含まれる任意の有界区間\( \; J \; \)についてとる。
空集合\( \; \phi \; \)に対しては\( \; m(\phi)=0 \; \)、区間塊\( \; E=I_{1}+\ldots+I_{N} \; \)に対しては\[ m(E)=m(I_{1})+\ldots+m(I_{N}) \]
と定義すると、この\( \; m \; \)は有限加法族\( \; \mathcal{F}_{n} \; \)の上で完全加法的測度になるのであった。
この\( \; m \; \)を使ってLebesgue外測度\( \; \mu^{*} \; \)を構成する。任意の\( \; A \subset \mathbb{R}^{n} \; \)に対して高々可算無限個の集合\( \; E_{k} \in \mathcal{F}_{n} \; \)で\( \; A \; \)を覆い\[ \mu^{*}(A)= \mathrm{if}\sum_{k=1}^{\infty} \; m(E_{k}) \]
で定義する。ただし下限はそのようなすべての覆い方に関する下限をとる。
すると\( \; \mu^{*} \; \)は外測度としての性質を満たし、かついま\( \; m \; \)が\( \; \mathcal{F}_{n} \; \)の上で完全加法的であるので\( \; E \in \mathcal{F}_{n} \; \)に対しては\( \; \mu^{*}(E)=m(E) \; \)となる。
そして\( \; \mu^{*} \)-可測集合の全体\( \; \mathcal{M}_{\mu^{*}} \; \)はσ-加法族をなし、\( \; \mu^{*} \; \)は\( \; \mathcal{M}_{\mu^{*}} \; \)の上で定義された測度となるのであった。\( \; \mathcal{M}_{\mu^{*}} \; \)に属す集合をLebesgue可測集合といい、\( \; \mu^{*} \; \)を\( \; \mathcal{M}_{\mu^{*}} \; \)の上で考えた測度を単に\( \; \mu \; \)と書いてLebesgue測度と呼ぶ。すなわち\( \; E \in \mathcal{M}_{\mu^{*}} \; \)に対しては\[ \mu^{*}(E) \equiv \mu(E),\]
\( E \in \mathcal{F}_{n} \; \)に対しては\( \; \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{M}_{\mu^{*}} \; \)であることにより\[ m(E)=\mu(E)=\mu^{*}(E). \]
まずいくつかの補題を証明して武器をそろえる。
以下\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)におけるLebesgue外測度を\( \; \mu^{*} \; \)、Lebesgue測度を\( \; \mu \; \)、Lebesgue可測集合を単に可測集合と呼ぶことにする。
補題a. 任意の\( \; A \subset \mathbb{R}^{n} \; \)に対して\[ \mu^{*}(A)= \mathrm{if} \{ \mu (G); \; Gは開集合でG \supset A \} .\]
証明。\( \mu^{*} \; \)の構成法により（むしろ下限の定義により）任意の\( \; \varepsilon >0 \; \)に対して\[ A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} \; E_{k}, \;\; \sum_{k=1}^{\infty} \; m(E_{k}) \leq \varepsilon + \mu^{*}(A) \]
なる\( \; E_{k} \in \mathcal{F}_{n} \; \)が存在する。各\( \; E_{k} \; \)は有限個の区間の直和で表され、区間に対しては\( \; m=\mu \; \)だから\[ A \subset \bigcup_{k'=1}^{\infty} \; I_{k'}, \;\; \sum_{k'=1}^{\infty} \; \mu(I_{k'}) \leq \varepsilon + \mu^{*}(A) \]
なる\( \; I_{k'} \in \mathcal{I}_{n} \; \)が存在する。添え字を再び\( \; k \; \)に付け直す。各\( \; I_{k} \; \)は\[ I_{k}=(a_{k1}, \; b_{k1}]\times\ldots\times(a_{kn}, \; b_{kn}] \]
の形だから、\( \delta_{k} >0 \; \)を十分小さくすれば開集合\[ G_{k}=(a_{k1}, \; b_{k1}+\delta_{k})\times\ldots\times(a_{kn}, \; b_{kn}+\delta_{k}) \]
が\( \; \mu(G_{k}) \leq \mu(I_{k})+\varepsilon/2^{k} \; \)を満たすようにできる。\( \; G=\bigcup_{k=1}^{\infty} \; G_{k} \; \)とおくとこれも開集合で\[ \begin{eqnarray*} &G&=\bigcup_{k=1}^{\infty} \; G_{k} \supset \bigcup_{k=1}^{\infty} \; I_{k} \supset A, \\ &\mu(G)& \leq \sum_{k=1}^{\infty} \; \mu(G_{k}) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \; \{ \mu(I_{k})+\varepsilon/2^{k} \} \leq 2\varepsilon + \mu^{*}(A). \end{eqnarray*} \]
\( \varepsilon \; \)は任意であったから\( \; \mathrm{if} \; \mu(G)\leq\mu^{*}(A) \; \)となり証明が済んだ。
補題b. \(A \; \)が可測集合ならば任意の\( \; \varepsilon>0 \; \)に対して\( \; G \supset A, \;\; \mu(G-A)<\varepsilon \; \)となる開集合\( \; G \; \)が存在する(\( \; A \; \)を開集合で測る)。
証明。\( \mathbb{R}^{n} \; \)の原点を中心とする半径\( \; k \; \)の球の内部を\( \; S_{k} \; \)とおく。\( A \; \)が有界ならばある\( \; k \; \)で\( \; A \subset S_{k} \; \)となるものがある。よって\( \; \mu(A)<\infty\).補題aにより\[ G \supset A, \; \mu(G)<\mu(A)+\varepsilon<\infty \]
なる開集合\( \; G \; \)が存在して\[ \mu(G-A)=\mu(G)-\mu(A)<\varepsilon \]
となる(\( \; \mu(A)<\infty \; \)だからこそ測度の「差」に意味があることに注意)。
\( A \; \)が有界でないときは、各\( \; k \; \)に対して\( \; A_{k}=A\cap S_{k} \; \)とおくと\( \; A_{k} \; \)は有界な可測集合だから補題aにより\[ G_{k} \supset A_{k}, \; \mu(G_{k}-A_{k})<\varepsilon/2^{k} \]
なる開集合\( \; G_{k} \; \)がある。\( \; G=\bigcup_{k=1}^{\infty} \; G_{k} \; \)とおけばこれも開集合で\( \; G \supset \bigcup_{k=1}^{\infty} \; A_{k}=A \; \)、また\( \; G-A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\;(G_{k}-A_{k}) \; \)だから\[ \mu(G-A) \leq \mu\left ( \bigcup_{k=1}^{\infty} \; (G_{k}-A_{k}) \right ) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \; \mu(G_{k}-A_{k}) < \sum_{k=1}^{\infty} \; \varepsilon/2^{k}=\varepsilon. \]
補題c. \(A \; \)が可測集合ならば任意の\( \; \varepsilon>0 \; \)に対して\( \; F\subset A, \; \mu(A-F)<\varepsilon \; \)なる閉集合\( \; F \; \)が存在する(\( \; A \; \)を閉集合で測る)。
証明。\(A \; \)が有界であるとき。\( \; A \subset S_{k} \; \)なる\( \; k \; \)を固定する。このとき\( \; \bar{S}_{k}-A \; \)も可測集合だから補題bにより\[ G \supset \bar{S}_{k}-A, \; \mu(G-(\bar{S}_{k}-A))<\varepsilon \]
なる開集合\( \; G \; \)が存在する。すると\( \; F=\bar{S}_{k}-A \; \)は閉集合で、\( F \subset \bar{S}_{k}-(\bar{S}_{k}-A)=A. \)
\( \; F \subset A \subset \bar{S}_{k} \subset G+F \; \)だから\( \; G+F \supset (\bar{S}_{k}-A)+(A-F)+F. \; \)
従って\( \; A-F \subset G-(\bar{S}_{k}-A) \; \)となるから\[ \mu(A-F)\leq\mu(G-(\bar{S}_{k}-A))<\varepsilon \]
となる。\( A \; \)が有界でないときは\( \; A_{1}=A\cap S_{1}, \; A_{k+1}=A\cap(S_{k+1}-S_{k})\;\;(k\geq1) \; \)とおくと各\( \; A_{k} \; \)は有界な可測集合だから前述の議論によって\[ F_{k} \subset A_{k}, \; \mu(A_{k}-F_{k})<\varepsilon/2^{k} \]
なる閉集合\( \; F_{k} \; \)が存在する。\( F=\bigcup_{k=1}^{\infty} \; F_{k} \; \)とおくとこれも閉集合で\( \; F \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} \; A_{k}=A. \)
また\( \; A-F \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} \; (A_{k}-F_{k}) \; \)だから\[ \mu(A-F)\leq\mu\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} \; (A_{k}-F_{k})\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \; \mu(A_{k}-F_{k})<\varepsilon. \]
補題d. 集合\( \; E \subset \mathbb{R}^{n} \; \)を固定する。\( \mathrm{d}(x,E)\equiv\mathrm{if}_{z\in E}{\|x-z\|} \; \)は\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)上の連続関数である。
証明。任意の\( \; x, \; y \in \mathbb{R}^{n} \; \)と任意の\( \; z \in E \; \)に対して\[ \mathrm{d}(x,E) \leq \|x-z\| \leq \|x-y\|+\|y-z\| \]
だから\( \; x, \; y \; \)を固定して\( \; z \; \)の下限をとれば\( \; \mathrm{d}(x,E) \leq \|x-y\| + \mathrm{d}(y,E) \)、すなわち\[ \mathrm{d}(x,E)-\mathrm{d}(y,E) \leq \|x-y\|. \]
同様にして\( \; \mathrm{d}(y,E)-\mathrm{d}(x,E) \leq \|x-y\| \; \)を得るから結局\[ |\mathrm{d}(x,E)-\mathrm{d}(y,E)| \leq \|x-y\|. \]
主張e. \( F_{0}, \; F_{1} \; \)を互いに交わらない閉集合とし、\[ f(x)=\frac{\mathrm{d}(x,F_{0})}{\mathrm{d}(x,F_{0})+\mathrm{d}(x,F_{1})} \]
とおくと補題dによって\( \; f(x) \; \)は\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)上で連続かつ\[ f(x)= \begin{cases} 0 \; ; &x \in F_{0}, \\ 1 \; ; &x \in F_{1}, \\ r \in (0, \; 1) \; ; &その他. \end{cases} \]
さて、ようやく定理の証明に入る。
定理1. \( u \in L^{1}(\mathbb{R}^{n}) \; \)ならば、任意の\( \; \varepsilon>0 \; \)に対して適当な\( \; v \in C_{0}(\mathbb{R}^{n}) \; \)をとって\[ \int_{\mathbb{R}^{n}}|u(x)-v(x)|dx<\varepsilon \]
とできる。
補足。台がコンパクトであるような\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)上の連続関数の全体を\( \; C_{0}(\mathbb{R}^{n}) \; \)と書く。この定理は任意の\( \; u \in L^{1} \; \)を、適当な\( \; v \in C_{0} \; \)によってノルム\( \; \| \cdot \|_{L^{1}} \; \)に関して任意の精度で近似できることを主張している。
また以下の証明中に出てくる\( \; x \in E(P\; \{関数u(x)に関する条件\; \}) \; \)は、\( \; P \; \)を満たすような\( \; x \; \)全体の集合を意味する。
証明。積分の定義により\( \; u \geq 0 \; \)の場合を示せば十分である。
\(\mathbb{R}^{n} \; \)の原点から点\( \; x \; \)までの距離を\( \; |x| \; \)として、\[ u_{k}(x)= \begin{cases} \dfrac{j-1}{2^{k}} \; ; &x \in E\left( \dfrac{j-1}{2^{k}}\leq u(x) \leq \dfrac{j}{2^{k}}, \;\; |x|<k \right ), \;\; 1 \leq j \leq 2^{k}k, \\ 0 \; ; &x \in E(u(x) \geq k) \cup E(|x| \geq k) \end{cases} \]
とおけば\( \; \{ u_{k} \} \; \)は\( \; E \; \)の上の階段関数の単調増加列で\( \lim u_{k}(x)=u(x) \;\; (a.e.) \; \)である。実際、\( \; u(x)<\infty \; \)なる点\( \; x \; \)では\( \; k>u(x) \; \)なるすべての\( \; k \; \)に対して\[ |u_{k}(x)-u(x)|\leq \dfrac{1}{2^{k}} \]
となっている。よって積分の定義から\( \; \lim\int_{E} \; u_{k}(x)dx=\int_{E} \; u(x)dx. \)\( \; E \; \)上では\( \; u_{k} \leq u \; \)だから適当な\( \; k \; \)をとって\[ \int_{E} \; |u(x)-u_{k}(x)|dx=\int_{E} \; u(x)dx-\int_{E} \; u_{k}(x)dx<\dfrac{\varepsilon}{2} \]
とできる(積分値の差分が意味をもつことは\( \; u \in L^{1} \; \)によって保証されていることに注意)。この\( \; k \; \)を固定する。すると\( \; u_{k} \; \)は\[ u_{k}(x)=\sum_{j=1}^{N} \; \alpha_{j} \chi_{E_{j}}(x), \;\; (\alpha_{j}>0) \]
なる形に表され、\( \; E_{j} \subset S_{k} \; \)が成り立つ。ここで\( \; \chi_{A} \; \)は\( \; A \; \)の定義関数である。
各\( \; E_{j} \; \)に対しては補題b,cによって\[ F_{j} \subset E_{j} \subset G_{j} \subset S_{k}, \;\; \mu(G_{j}-F_{j})<\dfrac{\varepsilon}{2N\alpha_{j}} \]
なる閉集合\( \; F_{j} \; \)と開集合\( \; G_{j} \; \)が存在し、またそれらに対し補題dと主張eとにより\( \mathbb{R}^{n} \; \)上で\( \; 0 \leq v_{j}(x) \leq 1 \; \)なる連続関数\( \; v_{j}(x) \; \)で\[ v_{j}(x)= \begin{cases} 1 \; ; &x \in F_{j}, \\ 0 \; ; &x \in {G_{j}}^{c} \end{cases} \]
なるものがある。このとき\( \; x \notin (G_{j}-F_{j}) \; \)ならば\( \; \chi_{E_{j}}=v_{j} \; \)だから\[ \int_{E} \; |\chi_{E_{j}}(x)-v_{j}(x)|dx \leq \mu(G_{j}-F_{j}) < \dfrac{\varepsilon}{2N\alpha_{j}}. \]
よって\( \; v(x)= \displaystyle\sum_{j=1}^{N} \; \alpha_{j}v_{j}(x) \; \)と定義すると、\( \; v \; \)は\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)で連続、\( \; x \notin S_{k} \; \)なら\( \; v(x)=0 \; \)で、\[ \int_{E} \; |u_{k}(x)-v(x)|dx \leq \sum_{j=1}^{N} \; \alpha_{j} \int_{E}|\chi_{E_{j}}(x)-v_{j}(x)|dx<\dfrac{\varepsilon}{2}. \]
以上によって\[ \int_{E}|u(x)-v(x)|dx\leq\int_{E}|u(x)-u_{k}(x)|dx+\int_{E}|u_{k}(x)-v(x)|dx<\varepsilon. \]
