ミンコフスキの不等式
\( \Omega \; \)を\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)の可測集合とし、\( \; \mu (\Omega) >0 \; \)であるとする。
また\( \; \Omega \; \)上の可測関数\( \; u \; \)で\[ \|u\|=\|u\|_{L^{p}}=\left ( \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx \right )^{1/p}<\infty \]
をみたすもの全体の集合を\( \; \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)と書く。
まずは「Minkowskiの不等式」を証明する。不等式の内容は、\( \; u, \; v \in \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)であれば\( \; u+v \in \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)で\[ \left ( \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p}dx \right )^{1/p} \leq \left ( \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx \right )^{1/p}+\left ( \int_{\Omega} \; |v(x)|^{p}dx \right )^{1/p} \]
が成り立つというものである(\( \; 1 \leq p < \infty \; \))。
\( p=1 \; \)のときは自明なので\( \; p>1 \; \)とする。関数\( \; (1+x)^{p}/(1+x^{p}), \; x \geq 0 \; \)を考えると、これは\( \; x=1 \; \)で最大値\( \; 2^{p-1} \; \)をとることが容易にわかるので、\( \; (1+x)^{p} \leq 2^{p-1}(1+x^{p}) \; \)であるが、ここで\( \; x=b/a; \; b, \; a \geq 0, \; a \neq 0 \)とおけば不等式\[ (a+b)^{p} \leq 2^{p-1}(a^{p}+b^{p}), \;\;\; p>1 \]
を得る。なおこの不等式は\( \; a=0 \; \)で明らかに成立しているから任意の\( \; a, \; b \geq 0 \; \)について真である。
この不等式を使えば\[ (|u(x)+v(x)|)^{p} \leq (|u(x)|+|v(x)|)^{p} \leq 2^{p-1}(|u(x)|^{p}+|v(x)|^{p}) \]
だから\( \; u, \; v \in \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)なら\( \; u+v \in \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)である。
また\( \; 1/p+1/q=1 \; \)ならば\( \; q = p/(p-1) \; \)だから\( \; \left (|u+v|^{p-1} \right )^{q}=|u+v|^{p} \; \).
\( u+v \in \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)ならば\( \; |u+v| \in \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)だから\( \; |u+v|^{p-1} \in \mathcal{L}^{q}(\Omega). \; \) \[ \begin{eqnarray*} &\int_{\Omega}& \; |u(x)+v(x)|^{p}dx = \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p-1}|u(x)+v(x)|dx \\ &\leq& \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p-1}|u(x)|dx + \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p-1}|v(x)|dx \end{eqnarray*} \]
の右辺の各項にヘルダーの不等式を適用すれば\[ \begin{eqnarray*} &\int_{\Omega}& \; |u(x)+v(x)|^{p}dx \\ &\leq& \left ( \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p}dx \right )^{1/q} \left [ \left ( \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx \right )^{1/p} + \left ( \int_{\Omega} \; |v(x)|^{p}dx \right )^{1/p} \right ] \end{eqnarray*} \]
が得られる。\( \; \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p}dx \neq 0 \; \)なら両辺を\( \; \left ( \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p} \right )^{1/q} \; \)で割れば求める不等式を得る。またもし\( \; \int_{\Omega} \; |u(x)+v(x)|^{p}dx = 0 \; \)ならば求める不等式は自明である。
これによって\( \; \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)空間が線形空間であることが明らかになったのである。またミンコフスキの不等式は\( \; \| \cdot \|_{L^{p}} \; \)に対する三角不等式にほかならない。
\( \mathcal{L}^{p}(\Omega) \; \)において、\( \; u=v \,\,\, (a.e.) \; \)であるような二つの関数は同じものとみなすことによってできる空間を\( \; L^{p}(\Omega) \; \)と書くと、\( \; L^{p}(\Omega) \; \)は線形空間であり、ノルム\( \; \| \cdot \|_{L^{p}} \; \)によってノルム空間になることがMinkowskiの不等式によって保障される。実は\( \; L^{p}(\Omega) \; \)はBanach空間になるのだが、この証明は追って述べようと思う。
