着想メトロ

アイデアとは、世界の捉え方を再構成することで新たな価値を獲得し、さらにそれを経験によって持続させる、一連のプロセスのこと。

ヘルダーの不等式

 関数\( \; f(x)=\ln{x} \;\)の凸性を利用した不等式を示す。

 この関数は上に凸であるから、任意に\( \; x_{2} \geq x_{1}>0 \; \)をとってきたとき、この二点を結ぶ直線はこの二点の間で常に\( \; f(x) \; \)よりも下側にあることになる。まずこの事実を立式してみる。

  二点\( \; x_{1}, \; x_{2} \; \)を通る直線の式\( \; g(x) \; \)は、\( \; \Delta x \equiv x_{2}-x_{1} \; \)とおいて、\[g(x)=\dfrac{{f(x_{2})-f(x_{1})}}{\Delta x}x+\left [ f(x_{1})-\dfrac{{f(x_{2})-f(x_{1})}}{\Delta x}x_{1}\right ].\]

\( x \in [x_{1}, \; x_{2}] \; \)に対して\( \; f(x) \geq g(x) \; \)であり、\( \; x \; \)は\(\; 0<\theta<1\; \)なる\( \; \theta \; \)を用いて\[ x_{1}+\theta \Delta x \]

とかけるから、結局\[ \begin{eqnarray*} \ln{(x_{1}+\theta \Delta x)} &\geq& \dfrac{\{ f(x_{2})-f(x_{1}) \} }{\Delta x}(x_{1}+\theta\Delta) \\ &+& \left [ f(x_{1})-\dfrac{ \{ f(x_{2})-f(x_{1}) \} }{ \Delta x } x_{1} \right ] \\ &=& \theta\ln{x_{2}}+(1-\theta)\ln{x_{1}}. \end{eqnarray*} \]

\( \theta ' \equiv 1-\theta \; \)と変換してわかるように、この不等式は\( \; x_{1} \geq  x_{2} \; \)でも実は成り立っていることがわかる。

いま\( \; \theta \equiv 1/q, \; 1-\theta \equiv 1/p; \;\;\; x_{1}=a^{p}, \; x_{2}=b^{q}; \;\;\; a,b>0 \; \)とおくと、上の不等式は\[ \ln{ (a^{p}/p+b^{q}/q) }\geq \ln{ (ab) }.\]

\( f(x) \; \)は\( \; x>0 \; \)で単調増加であるから結局 \( \; a,\; b,\; p,\; q>0; \;\;\; 1/p+1/q=1 \; \)として、\[ ab \leq a^{p}/p+b^{q}/q\]

を得る。

 この不等式を用いれば「ヘルダーの不等式」\[ \left | \int_{\Omega}  \; u(x)v(x)dx \right | \leq \left ( \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx \right ) ^{1/p} \left ( \int_{\Omega} \; |v(x)|^{q}dx \right ) ^ {1/q} \equiv ||u||_{L^{p}}||v||_{L^{q}} \]

が証明できる。それにはさきほどの不等式で\[ a\equiv |u(x)|/||u||_{L^{p}}, \; b\equiv |v(x)|/||v||_{L^{q}} \]

とおいて、\[ \begin{eqnarray*} \dfrac{ \left | \int_{\Omega} \; u(x)v(x)dx \right | }{\|u\|_{L^{p}}\|v\|_{L^{q}}} &\leq& \int_{\Omega} \; \dfrac{|u(x)|}{\|u\|_{L^{p}}} \cdot \dfrac{|v(x)|}{\|v\|_{L^{q}}}dx \\ &\leq& \dfrac{ \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx}{p \cdot \|u\|_{L^{p}}^{p}}+\dfrac{\int_{\Omega} \; |v(x)|^{q}dx}{q \cdot \|v\|_{L^{q}}^{q}} \\ &=& \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} = 1 \end{eqnarray*} \]

とした上で、両辺に\( \; \|u\|_{L^{p}}\|v\|_{L^{q}} \; \)をかければよい。

 不等式に登場する関数\( \; u, \; v \; \)とそれが定義されている可測集合\( \; \Omega \; \)はそれぞれ適当な条件を満たしているとする。詳しくは関数解析(黒田)参照のこと。