局所コンパクト性
ノルム空間\( \; X \; \)の任意の有界閉集合がコンパクトであるとき、\( \; X \; \)を局所コンパクトであるという。
いま\( \; X \; \)を有限次元ノルム空間とする。\( \; A \subset X \; \)を有界閉集合、\( \; \{ u_{j} \} \in A, \;\;\; u_{j}=\alpha_{1}^{(j)}\psi_{1}+\ldots+\alpha_{n}^{(j)}\psi_{n} \; \)とする。ここで\( \; \mathrm{dim}X=n\;\)で、\( \; \{ \psi_{k} \} \; \)は\( \; X \; \)の基底である。
\(X \; \)のノルム\( \; \|\cdot\| \; \)とは別に\( \; |||\cdot||| \; \)を、\[ |||u_{j}|||=\max_{k} \; |\alpha_{k}^{(j)}| \]
によって定義する。\( \; A \; \)は有界だから、\( \; |\alpha_{k}^{(j)}| \leq |||u_{j}||| \leq M. \; \) \[ \alpha^{(j)}=(\alpha_{1}^{(j)},\ldots, \; \alpha_{n}^{(j)})\]
とおけば\( \; \{\alpha^{(j)} \} \; \)は有界だからBolzano-Weierstrassの定理によって\( \; \mathbb{C}^{n} \; \)で収束する部分列\( \; \{ \alpha^{(i_{j})} \} \; \)をもつ。この極限を\( \; \alpha=(\alpha_{1}, \ldots, \; \alpha_{n}) \; \)とし、\( \; u=\alpha_{1} \psi_{1}+\ldots+\alpha_{n} \psi_{n} \; \)とおく。\[ |||u_{i_{j}}-u|||=\sup{|\alpha_{k}^{(i_{j})}-\alpha_{k}|} \leq \varepsilon, \;\;\; u_{i_{j}}\in A\]
だから、\( \; A \; \)が閉集合より\( \; u_{i_{j}} \longrightarrow u, \;\;\; u \in A\)であることが示された。
有限次元ノルム空間の二つのノルムは互いに同値であるからノルム\(|||\cdot|||\)に対して示された定理の主張は一般のノルムに対して示された。
なお注意として、無限次元空間だと完備であっても局所コンパクトとは限らない。