着想メトロ

アイデアとは、世界の捉え方を再構成することで新たな価値を獲得し、さらにそれを経験によって持続させる、一連のプロセスのこと。

実数体Rの完備性について

Cauchy列\( \; \{u_{n} \} \; \)があるとする:\[ \forall \varepsilon>0, \;\;\; \exists N, \;\;\; n,m \geq N \Longrightarrow |u_{m}-u_{n}|<\epsilon. \]

まず\( \; \{ u_{n} \} \; \)が有界であることを示す。\(n_{0} \; \)を固定する。\[ \begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0, \;\;\; \exists N, \;\;\; n_{0},m \geq N &\Longrightarrow& |u_{m}-u_{n_{0}}|<\varepsilon \\ &\Longrightarrow& |u_{m}|<|u_{n_{0}}|+\varepsilon. \end{eqnarray*} \]

そこで\( \; M= \max ( |u_{1}|, \cdot \cdot \cdot, \; |u_{N-1}|, \; |u_{n_{0}}|+\varepsilon) \; \)とおけば、\[ \forall m \in \mathbb{N}, \;\;\; |u_{m}|\leq M. \]

よって\( \; \{ u_{n} \} \; \)は有界である。

 Bolzano-Weierstrassの定理によって\( \; \{ u_{n} \} \; \)は\( \; \mathbb{R} \; \)で\( \; u \; \)に収束する部分列\( \; \{ u_{i_{n}} \} \; \)をもつ:\[ \forall \varepsilon >0, \;\;\; \exists N', \;\;\; n\geq N'\Longrightarrow |u_{i_{n}}-u|< \varepsilon/2.\]

一方\( \; \{u_{n} \} \; \)はCauchy列であるから、\[ \forall \varepsilon>0, \;\;\; \exists N'', \;\;\;  m,n\geq N'' \Longrightarrow |u_{n}-u_{m}|<\varepsilon/2, \]

ところで\( \; i_{n}\geq n \; \)だから実は\[ \Longrightarrow |u_{n}-u_{i_{n}}|<\varepsilon/2. \]

いま\( \; N=\max(N', \; N'') \; \)とおけば、\[ \begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0, \;\;\; n\geq N &\Longrightarrow& |u_{n}-u| \leq |u_{n}-u_{i_{n}}|+|u_{i_{n}}-u| \\ &<& \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon  \end{eqnarray*} \]

となるから\( \; \{ u_{n} \} \; \)は\( \; \mathbb{R} \; \)で\( \;u \; \)に収束することがわかり、「Cauchy列ならば収束」が示された。これを\( \; \mathbb{R} \; \)の完備性とよぶ。この事実からCの完備性も導かれる。

つまりRの完備性はBolzano-Weierstrassの定理に負っているのであり、この定理自体は区間縮小法の原理に依っていた。区間縮小法の原理は結局「上限、下限の存在」を公理として採用することで得られるから、Rの完備性は上限、下限の存在から帰結されることになる。

参考:楽天ブックス: 解析入門 - 田島一郎 - 4000211080 : 本