着想メトロ

アイデアとは、世界の捉え方を再構成することで新たな価値を獲得し、さらにそれを経験によって持続させる、一連のプロセスのこと。

Comprendre le rôle des définitions dans une théorie mathématique

     Quelles impressions vous donne le mot Définition ?

     Au lycée, en général, on apprend des formules utiles à partir d’un ensemble de définitions données pour résoudre des problèmes concrets. A ce niveau-là, la capacité mathématique requise est de trouver le plus tôt possible des formules à appliquer, éventuellement dans une certaine limite de temps. Cette performance en mathématiques est transitoire.

     Cependant, il existe une autre forme de capacité mathématique. Au sens plus large, les capacités mathématiques c’est d’abstraire une loi dominant un certain nombre de phénomènes  grâce à des expériences concrètes, même s’ils sont très différents à première vue. Plus clairement, c’est la capacité à formuler mathématiquement une notion abstraite reliant un ensemble de phénomènes. De fait les physiciens le font journellement, sinon ils ne peuvent pas l’être.

     Revenons sur le rôle des définitions dans une théorie mathématique. Et on constate qu’une définition est une expression explicite d’une idée ou d’une notion dans le langage mathématique. Supposons qu’il y a des phénomènes concrets qui apparaissent et que l’on découvre qu’ils partagent une notion commune. Donc cette notion peut être une clef pour savoir ce que sont ces phénomènes. Et après on essaie de bien exprimer cette notion mathématiquement: ça, c’est l’action de définir.

     A quoi ca sert ? C’est parce que l’action de définir permet d’opérer des notions abstraites. Parce que l’action d’opérer engendre de nouveaux résultats. Par exemple la notion de fonction définit une relation entre deux ensembles, permettant de définir la fonction inverse ou la composition de fonctions, qui sont des opérations entre ensembles.

     De ce point de vue, malgré l’impression de la rigueur que donne le mot, la définition permet de rendre dynamiques les notions abstraites. En d’autres termes, puisque les mathématiques nous permettent d’opérer les notions abstraites, on essaie de définir ces notions qui sont évidents a priori. La question qui se pose alors c’est: est-ce qu’il est facile de définir ? Et non, c’est pour ca qu’il est difficile de batîr une théorie mathématique.

     Les grands hommes ayant réussi à établir des théories mathématiques s’étaient appliqués à formuler des notions abstraites qui leur étaient importantes. Dans ce sens, pour eux, les définitions ce n’est pas la porte d’entrée mais le terminus.

     Il me faudrait redéfinir les capacités mathématiques. C’est de pouvoir donner une expression explicite d’une notion abstraite à partir de laquelle on peut obtenir de nouveaux résultats intéressants. Quand on apprend une théorie mathématique, il est préférable d’essayer de comprendre les définitions:

pourquoi ces définitions ?

     Après la plupart des théorèmes qui forment la théorie sont obtenues par quelques opérations et ces définitions. Donc même si l’on ne peut pas comprendre des définitions, il est tout à fait naturel, parce que c’est une des choses les plus difficiles à faire pour les apprenants. Souvent c’est après avoir appris la théorie en entièr que l’on trouve petit à petit les définitions naturelles et raisonnables.

     Donc le premier objectif est de parcourir la théorie et le deuxième de comprendre les définitions !

     En résumé, dans une théorie mathématique,

les définitions sont à la fois élémentaires et essentielles.