\(\alpha u=0 \Longrightarrow \alpha=0 \; \)または\( \; u=0 \; \)の証明

\(\alpha\neq 0 \; \)かつ\( \; u \neq 0 \; \)で、\( \; \alpha u=0 \; \)であると仮定して矛盾を導く。この方針は、証明したい命題の対偶命題\[ \alpha\neq 0 \;and \; u \neq 0 \Longrightarrow \alpha u \neq0 \]

からでる。線形空間\( \; X \; \)に属する任意の元\( \; u, \; v \; \)に対して\[ \alpha u = \alpha v \]

が成り立っているならば\[ u = \alpha^{-1} \alpha u = \alpha^{-1} \alpha v = v. \]

一方\( \; \alpha 0 = 0 \; \)であるから、\[ u = 0 \]

が導かれるがこれは矛盾である。よって\( \; \alpha u \neq 0 \; \)がいえる。