関数\( \; f(x)=\ln{x} \;\)の凸性を利用した不等式を示す。 この関数は上に凸であるから、任意に\( \; x_{2} \geq x_{1}>0 \; \)をとってきたとき、この二点を結ぶ直線はこの二点の間で常に\( \; f(x) \; \)よりも下側にあることになる。まずこの事実を立式…

定理の内容を述べるに留める。なお定理の証明に関しては、 http://www.tufts.edu/as/math/Preprints/BurnsHasselblattShort.pdf を参照のこと。 まず準備として、「SHARKOVSKY列」を定義する。 正の整数に対して順序\( \; \prec \; \)を次のように定義する: …

ノルム空間\( \; X \; \)の任意の有界閉集合がコンパクトであるとき、\( \; X \; \)を局所コンパクトであるという。

Cauchy列\( \; \{u_{n} \} \; \)があるとする:\[ \forall \varepsilon>0, \;\;\; \exists N, \;\;\; n,m \geq N \Longrightarrow |u_{m}-u_{n}|<\epsilon. \] まず\( \; \{ u_{n} \} \; \)が有界であることを示す。\(n_{0} \; \)を固定する。\[ \begin{eqnar…

Quelles impressions vous donne le mot Définition ? Au lycée, en général, on apprend des formules utiles à partir d’un ensemble de définitions données pour résoudre des problèmes concrets. A ce niveau-là, la capacité mathématique requise es…

「定義」ときいて何を思い浮かべるだろうか。 高校数学ではある定義群から出発して役立つ公式を学んでいって、具体的な問題に対処できるようにするのが一般的。ここでの数学の能力とは問題に適用できる公式を素早く見抜くことであって、ある時間制限のもと評…

「有界な数列は収束する部分列をもつ」ことを証明する。 有界なのだから\( \; \{ \alpha_{n} \} \subset I = [a, \; b] \; \)なる\( \; a, \; b \; \)が存在する。 いま\( \; I \; \)を二つに分割すると、少なくともどちらか一方の区間には無限個の点が含ま…

\(\alpha\neq 0 \; \)かつ\( \; u \neq 0 \; \)で、\( \; \alpha u=0 \; \)であると仮定して矛盾を導く。この方針は、証明したい命題の対偶命題\[ \alpha\neq 0 \;and \; u \neq 0 \Longrightarrow \alpha u \neq0 \] からでる。線形空間\( \; X \; \)に属す…