数理・物理
研究活動をしておられる方は、普段から関連の論文や専門誌、学術書などを読まれると思います。 そのとき、特に自然科学において研究に従事している方々については、自分の研究に直接影響を与えるような重要性の高い事柄について、参考文献の計算結果を自分で…
ある高校二年生に数学を教えています。わからないことはわからないと素直に言ってくれる子なのですが、ある問題の解答を全体的流れとして理解し、その解答のどこが本質的な着眼点なのかを指摘することができるだけで、もう満足してしまうきらいがあります。 …
☞直線上の相流 直線上のベクトル場によって定まる微分方程式をどう解くかを学んだところで、今度はそれが相流という言葉を使ってどのように翻訳されるかをみてみる。 特に簡単な例\[ (1) \;\;\; \dot{x}=kx, \;\;\; x \in {\bf R} \]から始めよう。初期条件\…
アーノルドの『常微分方程式』を読み解いていく。
バクテリア自身ではなく、その保護膜の形成を阻止することで、バクテリアが耐性を獲得するのを未然に防ぐことが可能になるかもしれない。
第八回目にしてファインマンによる最小作用の原理の特別講義を終える。ここでは最小原理から静電ポテンシャルの満たす方程式が導けることを示し、次に最小原理を利用した、ポテンシャルの近似解を求める方法について学ぶ。最後にファインマンが彼の生徒にの…
最小作用の原理と量子力学との接点とは? 物質はミクロな世界でどうふるまうのか? 根源的な疑問に、ファインマンの鋭い洞察力が応える。
電磁場中を運動する一粒子の運動方程式を、最小作用の原理から導出する。そして最後にラグアンジアンを導入する。次回からはいよいよ、ファインマンの才能が如実に現れる分析に入る。
保存系が全エネルギーを保存することの証明を、一、二次元の場合に与える。また保存力がする仕事が経路によらないこと、その逆に経路によらない仕事をする力は保存力であることを示す。
アフィン空間・アフィン変換という概念についてのまとめと直観的説明。常識的により「自然」な概念が、必ずしも数学的に把握するのに易しくはない好例となっている。
最小作用の原理は高次元、また多粒子系にも容易に一般化できる。ただしこのとき系は保存する(つまり力がポテンシャルから得られる系)だと仮定している。
この世界に遍在する黄金数。その謎に多角的アプローチを試みる。
ついに人工知能が誕生した。コンピュータプログラム「ユージーン」は、人とテキストで会話し、自分を人間だと思わせることに成功した。
記憶をコントロールすることはできるのか。いまだ人体への応用には至らないものの、ラットによってそれを成功させた研究結果。悪用を懸念せざるを得ないほどの革新的発見。
集合論の創始者カントールが向き合ったもの。我々を無限の深淵へと誘う、「集合」という革新的アイデア。
Huffpostから、光を物質(電子と反電子)に変える方法が発見されたという記事である:Transformer de la lumière en matière sera bientôt possible, assurent des scientifiques britanniques また論文はこちら: http://www.nature.com/nphoton/journal/va…
部分積分をつかって評価しやすい形に変形。保存系に関しては最小作用の原理がニュートン方程式と同値だということがわかる!
pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com この数学分野には様々な問題があって、たとえば、普通…
pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com 実際の運動はある曲線――時間を横軸にとって高さ\( \; …
pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com pen3e.hatenablog.com 高校生のころの自分にとって、物理はとても難しい科目…
基礎準備。 最初に「逆写像」という概念を説明する。簡単のため一次元を例にとろう。なお、動機づけとなった以下の記事も参照のこと:離散写像の性質をつかむ - pen3e's blog いまここに変数\( \; x \; \)から新たに\( \; y \; \)をつくりだす規則\( \; f \;…
Edward Ottの「Chaos in Dynamical Systems (Second Edition)」はカオスの標準的教科書だが、日本語訳がなく、章末問題にも解答がついていない。良書であることに間違いはないものの、全体的に難解、マニアックである。ここでは第一章「序論と概観」の章末問…
いまここに有界領域\( \; D \; \)で連続な関数\( \; f(x, \; y) \; \)があるとする。 まずこの領域\( \; D \; \)をある有界閉区間\( \; I=[a_{1}, \; b_{1}]\times[a_{2}, \; b_{2}] \; \)で完全に覆う。つぎに、\( \; I \; \)上で関数\( \; \bar{f} \; \)を…
まずは次の補題を証明する。 補題a. ノルム空間\( \; X \; \)が完備であるための必要十分条件は、\( \; X \; \)の点列\( \; \{ u_{n} \} \; \)で\( \; \sum_{n=1}^{\infty} \; \|u_{n+1}-u_{n}\|<\infty \; \)を満たすものはすべて\( \; X \; \)で収束するこ…
定義。区間\( \; I \subset \mathbb{R} \; \)上で定義された連続関数の列\( \; \{ f_{n}(x) \} \; \)が\( \; I \; \)上で\( \; f(x) \; \)に一様収束するとは\[(*) \;\;\; \forall \; \varepsilon>0, \;\;\; \exists \; n', \;\;\; \forall \; x \in I, \;\;…
等式とひとくちに言ってもいろいろな意味がある。「定義」そのものを指す場合、また「同値な変形」であったり、「方程式」(未知数に条件を課す式)、集合同士の等式、はたまた極限操作における「収束」の意味での等式であったり。各々の場合に、それがどうい…
射影定理とは、Hilbert空間\( \; \mathcal{H} \; \)の閉部分空間\( \; \mathcal{M} \; \)があるときに、任意の\( \; u \in \mathcal{H} \; \)を、\( \; \mathcal{M} \; \)に属する成分\( \; u_{1} \; \)と、それに直交する成分\( \; u_{2} \; \)に分解するこ…
有限次元ノルム空間\( \; X \; \)の次元を\( \; n \; \)とし、基底の一つ\( \; \{ \phi_{j} \}_{j=1,2,\ldots,n} \; \)をとると、任意の\( \; u \in X \; \)は\[ u=\sum_{j=1}^{n} \; \alpha_{j} \phi_{j}, \;\;\; \alpha_{j}\in \mathbb{C} \] というふうに…
諸事情により(検索機能のせい)上限supと下限infをそれぞれsp, ifと書く。 まず\( \; \mu^{*} \; \)の構成法から振り返る。\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)上の「区間」\[ I=(a_{1},\; b_{1}]\times\ldots\times (a_{n}, \; b_{n}] \] の全体を\( \; \mathcal{I}_…
\( \Omega \; \)を\( \; \mathbb{R}^{n} \; \)の可測集合とし、\( \; \mu (\Omega) >0 \; \)であるとする。 また\( \; \Omega \; \)上の可測関数\( \; u \; \)で\[ \|u\|=\|u\|_{L^{p}}=\left ( \int_{\Omega} \; |u(x)|^{p}dx \right )^{1/p}<\infty \] を…